5 Cada punto de un círculo se colorea con uno de $10$ colores. ¿Es verdad que para cualquier coloración hay $4$ puntos del mismo color que son vértices de un cuadrilátero con dos lados paralelos (un trapecio isósceles o un rectángulo)?

2 Demuestre que para todo entero positivo $n$ existe un número de $n$ - dígitos divisible por $5^n$ cuyos dígitos son todos impares.

1 Para un triángulo ABC dado, sea X un punto variable sobre la recta BC tal que el punto C se encuentra entre los puntos B y X. Demuestre que el eje radical de las circunferencias inscritas de los triángulos ABX y ACX pasa por un punto independiente de X. Esta es una ligera extensión del problema 7 de geometría de la IMO Shortlist 2004 y puede encontrarse, junto con la solución propuesta, entre los archivos subidos en http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=15622 . Nótese que el problema fue propuesto por Rusia. No pude encontrar los nombres de los autores, pero sospecho de dos personas en particular. Quizás alguien podría arrojar algo de luz sobre esto... Darij darij

N2 Dado un primo $p$, demuestra que la suma $\sum_{k=1}^{\lfloor \frac{q}{p} \rfloor}{k^{p-1}}$ no es divisible por $q$ para todos salvo finitamente muchos primos $q$. ThE-dArK-lOrD

4 Sea $n \geq 5$ un entero. Una familia de subconjuntos $\{A_1, A_2, \dots, A_m\}$ de $\{1, 2, \dots, n\}$ se llama $n$ - buena si: $m \geq 2$ ; $|A_i| \geq 3$ para todo $1 \leq i \leq m$ ; para cualesquiera $1 \leq x < y < z \leq n$ , existe exactamente un $1 \leq i \leq m$ tal que $\{x, y, z\} \subseteq A_i$ . Sea $f(n)$ el número mínimo de subconjuntos en una familia $n$ - buena. (1) Halle el mayor número real $\alpha$ tal que existe un número real positivo $c$ que satisface $f(n) \geq cn^{\alpha}$ . (2) Para el valor de $\alpha$ hallado en la parte (1), halle el mayor $c$ tal que para todo $\varepsilon > 0$ , $f(n) > (c - \varepsilon)n^{\alpha}$ se cumple para $n$ suficientemente grande. Propuesto por Cheng Jiang, estudiante de la Universidad de Tsinghua

Sea $n$ un entero positivo. Inicialmente, una cuadrícula de $2n \times 2n$ tiene $k$ celdas negras y el resto de celdas blancas. Se permiten las siguientes dos operaciones: (1) Si un cuadrado de $2\times 2$ tiene exactamente tres celdas negras, la cuarta se cambia a celda negra; (2) Si hay exactamente dos celdas negras en un cuadrado de $2 \times 2$ , las celdas negras se cambian a blancas y las blancas a negras. Halle el menor entero positivo $k$ tal que para cualquier configuración de la cuadrícula de $2n \times 2n$ con $k$ celdas negras, todas las celdas puedan volverse negras después de un número finito de operaciones. David-Vieta

1 Juan hace una lista de $2018$ números. El primero es $1$. Luego cada número se obtiene sumando al número anterior uno de los números $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$ o $9$. Sabiendo que ninguno de los números de la lista termina en $0$, ¿cuál es el mayor valor que puede tener el último número de la lista?

2 Se realizan mil divisiones enteras: se divide $2018$ por cada uno de los enteros del $1$ al $1000$. Así, se obtienen mil cocientes enteros con sus respectivos residuos. ¿Cuál de estos mil residuos es el mayor?

3 Sea $ABCDEFGHIJ$ un polígono regular de $10$ lados que tiene todos sus vértices en una circunferencia con centro $O$ y radio $5$. Las diagonales $AD$ y $BE$ se intersecan en $P$ y las diagonales $AH$ y $BI$ se intersecan en $Q$. Calcula la medida del segmento $PQ$.

4 Anna debe escribir $7$ enteros positivos, no necesariamente distintos, alrededor de un círculo de modo que se cumplan las siguientes condiciones: $\bullet$ La suma de los siete números es igual a $36$. $\bullet$ Si dos números son vecinos, la diferencia entre el mayor y el menor es igual a $2$ o $3$. Encuentra el valor máximo del mayor de los números que Anna puede escribir.