3 Se da una gran colección de triángulos rectángulos congruentes, cada uno con lados de longitud 3,4,5. Halle el número máximo de tales triángulos que se pueden colocar dentro de un cuadrado de 20x20, sin que dos triángulos se intersequen (en sus interiores).

4 Tres números racionales $x,p,q$ satisfacen $p^2-xq^2$ = 1. Demuestre que existen enteros $a,b$ tales que $p=\frac{a^2+xb^2}{a^2-xb^2}$ y $q=\frac{2ab}{a^2-xb^2}$ .

5 Se da un pentágono regular $ABCDE$ . El punto $X$ está sobre su circunferencia circunscrita, en el arco $\overarc{AE}$ . Demuestre que $|AX|+|CX|+|EX|=|BX|+|DX|$ . Observación: He aquí una versión más general del problema: demuestre que para cualquier punto $X$ del plano, $|AX|+|CX|+|EX|\ge|BX|+|DX|$ , con igualdad solo en el arco $\overarc{AE}$ .

6 Sea $f:\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ una función que satisface: Para cualesquiera $x_1,x_2,y_1,y_2 \in \mathbb Q$ , $$f\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right) \leq \frac{f(x_1,y_1)+f(x_2,y_2)}{2}.$$ $f(0,0) \leq 0$ . Para cualesquiera $x,y \in \mathbb Q$ que satisfacen $x^2+y^2>100$ , se cumple la desigualdad $f(x,y)>1$ .\ Demuestre que existe algún número racional positivo $b$ tal que para todos los racionales $x,y$ , $$f(x,y) \ge b\sqrt{x^2+y^2} - \frac{1}{b}.$$

7 Se da una tabla con $m$ filas y $n$ columnas. En cada casilla de la tabla hay escrito un entero. Heisuke y Oscar juegan al siguiente juego: al comienzo de cada turno, Heisuke puede elegir intercambiar dos columnas cualesquiera. Luego elige algunas filas y escribe una nueva fila al final de la tabla, en la que cada casilla contiene la suma de las casillas correspondientes de las filas elegidas. Entonces Oscar borra una de las filas elegidas por Heisuke (de modo que al final de cada turno hay exactamente $m$ filas). Luego comienza el siguiente turno y así sucesivamente. Demuestre que Heisuke puede asegurar que, después de una cantidad finita de turnos, ningún número de la tabla sea menor que el número a su derecha. Ejemplo: Si comenzamos con $(1,1,1),(6,5,4),(9,8,7)$ , Heisuke puede elegir intercambiar la primera y la tercera columna para obtener $(1,1,1),(4,5,6),(7,8,9)$ . Luego elige la primera y la segunda fila para obtener $(1,1,1),(4,5,6),(7,8,9),(5,6,7)$ . Entonces Oscar tiene que borrar la primera o la segunda fila, digamos la segunda. Obtenemos $(1,1,1),(7,8,9),(5,6,7)$ y Heisuke gana.

1 Nina y Meir caminan por un sendero de $3$ km hacia la casa de la abuela. Empiezan a caminar al mismo tiempo desde el mismo punto. La velocidad de Meir es $4$ km/h y la velocidad de Nina es $3$ km/h. A lo largo del sendero hay varios bancos. Cada vez que Nina o Meir llega a un banco, se sientan en él durante un tiempo y comen una galleta. Nina siempre tarda $t$ minutos en comer una galleta, y Meir siempre tarda $2t$ minutos en comer una galleta, donde $t$ es un entero positivo. Resulta que Nina y Meir llegaron a la casa de la abuela al mismo tiempo. ¿Cuántos bancos había? Halle todas las opciones.

2 Se nos da un cono de altura 6, cuya base es una circunferencia de radio $\sqrt{2}$ . Dentro del cono hay un cubo inscrito: su cara inferior está sobre la base del cono, y todos sus vértices superiores están sobre el cono. ¿Cuál es la longitud de la arista del cubo? https://i.imgur.com/AHqHHP6.png

2 Dos círculos \(\Gamma_1\) y \(\Gamma_2\) con radios distintos se intersecan en los puntos \(A\) y \(B\) . Sean \(C\) y \(D\) puntos de \(\Gamma_1\) y \(\Gamma_2\) , respectivamente, tales que \(A\) es el punto medio del segmento \(CD\) . La recta \(DB\) corta de nuevo a \(\Gamma_1\) en \(E\) , con \(B\) entre \(D\) y \(E\) ; la recta \(CB\) corta de nuevo a \(\Gamma_2\) en \(F\) , con \(B\) entre \(C\) y \(F\) . Sean \(\ell_1\) y \(\ell_2\) las mediatrices de \(CD\) y \(EF\) , respectivamente. Se da que \(\ell_1\) y \(\ell_2\) se intersecan en un único punto \(P\) . Demuestre que las longitudes \(CA\) , \(AP\) y \(PE\) forman los lados de un triángulo rectángulo.

3 Denótese por $S(n)$ la suma de las cifras de $n$ . Dado un entero positivo $N$ , consideramos el siguiente proceso: Tomamos la suma de las cifras $S(N)$ , luego su suma de cifras $S(S(N))$ , luego su suma de cifras $S(S(S(N)))$ . .. Continuamos hasta que nos quede un número de una cifra. Llamamos al número de veces que tuvimos que aplicar $S(\cdot)$ la profundidad de $N$ . Por ejemplo, la profundidad de 49 es 2, ya que $S(49)=13\rightarrow S(13)=4$ , y la profundidad de 45 es 1, ya que $S(45)=9$ . Demuestre que todo entero positivo $N$ tiene profundidad finita, es decir, que en algún momento del proceso obtenemos un número de una cifra. Defina $x(n)$ como el entero positivo mínimo con profundidad $n$ . Halle el residuo de $x(5776)\mod 6$ . Halle el residuo de $x(5776)-x(5708)\mod 2016$ .

4 Al principio, hay una circunferencia con tres puntos sobre ella. Los puntos están coloreados (en el sentido de las agujas del reloj): verde, azul, rojo. Jonathan puede realizar las siguientes acciones, tantas veces como quiera, en cualquier orden: Elegir dos puntos adyacentes de colores distintos, y añadir un punto entre ellos con uno solo de los dos colores. Elegir dos puntos adyacentes del mismo color, y añadir un punto entre ellos con cualquiera de los tres colores. Elegir tres puntos adyacentes, al menos dos de ellos del mismo color, y borrar el punto del medio. ¿Puede Jonathan alcanzar un estado en el que solo queden tres puntos en la circunferencia, coloreados (en el sentido de las agujas del reloj): azul, verde, rojo?