77 Sea $h(n)$, donde $n$ es un entero mayor que $1$, el mayor divisor primo del número $n$. ¿Existen infinitos números $n$ para los cuales se cumple que $h(n) < h(n+1) < h(n+2)$?

N2 ¿Para qué números primos $p$ podemos encontrar tres enteros positivos $n$ , $x$ e $y$ tales que $p^n = x^3 + y^3$ ?

78 Denota con $\omega (n)$ el número de divisores primos distintos del número $n$, donde $n$ es un entero mayor que $1$. Demuestra que existen infinitos números $n$ para los cuales se cumple $\omega (n)< \omega (n+1)<\omega (n+2)$.

79 Sea $S$ un círculo unitario y $K$ un subconjunto de $S$ formado por varios arcos cerrados. Supón que $K$ satisface las siguientes propiedades: $(\text{i})$ $K$ contiene tres puntos $A,B,C$, que son los vértices de un triángulo acutángulo $(\text{ii})$ Para todo punto $A$ que pertenezca a $K$, su punto diametralmente opuesto $A'$ y todos los puntos $B$ en un arco de longitud $\frac{1}{9}$ con centro en $A'$ no pertenecen a $K$. Demuestra que existen tres puntos $E,F,G$ en $S$ que son vértices de un triángulo equilátero y que no pertenecen a $K$.

80 Demuestra que las ecuaciones funcionales \[f(x + y) = f(x) + f(y),\] \[ \text{y} \qquad f(x + y + xy) = f(x) + f(y) + f(xy) \quad (x, y \in \mathbb R)\] son equivalentes. Amir

81 Sea $\Pi$ el conjunto de los paralelepípedos rectangulares que tienen al menos una arista de longitud entera. Si un paralelepípedo rectangular $P_0$ se puede descomponer en paralelepípedos $P_1,P_2, \ldots ,P_N\in \Pi$, demuestra que $P_0\in \Pi$.

Las localidades $P_1, P_2, \dots, P_{1983}$ son servidas por diez aerolíneas internacionales $A_1,A_2, \dots , A_{10}$. Se observa que hay servicio directo (sin escalas) entre cualesquiera dos de estas localidades y que todos los horarios de las aerolíneas ofrecen vuelos de ida y vuelta. Demuestra que al menos una de las aerolíneas puede ofrecer un viaje redondo con un número impar de aterrizajes.

2 Diecisiete ciudades reciben servicio de cuatro aerolíneas. Se observa que hay servicio directo (sin escalas) entre cualesquiera dos ciudades y que todos los horarios de las aerolíneas ofrecen vuelos de ida y vuelta. Demuestra que al menos una de las aerolíneas puede ofrecer un viaje redondo con un número impar de aterrizajes. Amir

3 (a) Dado un tetraedro $ABCD$ y sus cuatro alturas (es decir, las rectas que pasan por cada vértice y son perpendiculares a la cara opuesta), supón que la altura trazada desde $D$ pasa por el ortocentro $H_4$ del triángulo $ABC$. Demuestra que esta altura $DH_4$ interseca a las otras tres alturas. (b) Si además sabemos que una segunda altura, digamos la que va del vértice A a la cara $BCD$, también pasa por el ortocentro $H_1$ del triángulo $BCD$, entonces demuestra que las cuatro alturas son concurrentes y que cada una pasa por el ortocentro del triángulo correspondiente. Amir

4 Sea $n$ un entero positivo. Sea $\sigma(n)$ la suma de los divisores naturales $d$ de $n$ (incluyendo $1$ y $n$). Decimos que un entero $m \geq 1$ es superabundante (P. Erdős, $1944$) si $\forall k \in \{1, 2, \dots, m - 1\}$, $\frac{\sigma(m)}{m} > \frac{\sigma(k)}{k}.$ Demuestra que existe una infinidad de números superabundantes. Amir