5 Sea $ c > 2,$ y sea $ a(1), a(2), \ldots$ una sucesión de números reales no negativos tal que \[ a(m + n) \leq 2 \cdot a(m) + 2 \cdot a(n) \text{ for all } m,n \geq 1, \] y $ a\left(2^k \right) \leq \frac {1}{(k + 1)^c} \text{ for all } k \geq 0.$ Demuestre que la sucesión $ a(n)$ es acotada. Autor: Vjekoslav Kovač, Croacia

A5 Halle el menor entero positivo \(M\) para el cual existen un entero positivo \(n\) y polinomios \(P_1(x)\) , \(P_2(x)\) , \(\ldots\) , \(P_n(x)\) con coeficientes enteros que satisfacen \[Mx=P_1(x)^3+P_2(x)^3+\cdots+P_n(x)^3.\] Propuesto por Karthik Vedula

A5 Una maga pretende realizar el siguiente truco. Anuncia al público un entero positivo $n$ , junto con $2n$ números reales $x_1 < \dots < x_{2n}$ . Un miembro del público elige entonces en secreto un polinomio $P(x)$ de grado $n$ con coeficientes reales, calcula los $2n$ valores $P(x_1), \dots , P(x_{2n})$ y escribe estos $2n$ valores en la pizarra en orden no decreciente. Después, la maga anuncia al público el polinomio secreto. ¿Puede la maga hallar una estrategia para realizar tal truco?

2 $ P$ es un punto exterior a una circunferencia con centro en $ O$ . Las tangentes a la circunferencia trazadas desde $ P$ tocan la circunferencia en $ A$ y $ B$ . Sea $ Q$ el punto de intersección de $ PO$ y $ AB$ . Sea $ CD$ cualquier cuerda de la circunferencia que pase por $ Q$ . Demuestre que $ \triangle PAB$ y $ \triangle PCD$ tienen el mismo incentro.

13 Sea $P$ un polinomio de grado $n$ que satisface \[P(k) = \binom{n+1}{k}^{-1} \qquad \text{ for } k = 0, 1, . . ., n.\] Determine $P(n + 1).$ Amir

1 El valor absoluto de la diferencia de las soluciones de la ecuación $x^2 + px + q = 0$ , con $p, q \in R$ , es igual a $4$ . Halle las soluciones de la ecuación si se sabe que $(q + 1) p^2 + q^2$ toma el valor mínimo.

3 Dados dos paralelogramos $ABCD$ y $AECF$ con diagonal común $AC$ , donde $E$ y $F$ están en el interior del paralelogramo $ABCD$ . Demuestre: Las circunferencias circunscritas de los triángulos $AEB$ , $BFC$ , $CED$ y $DFA$ tienen un punto en común.

2 Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con hipotenusa $AB$ . Sea $K$ un punto interior cualquiera del triángulo $ABC$ , y los puntos $L, M$ son los simétricos del punto $K$ con respecto a las rectas $BC, AC$ respectivamente. Especifique todos los valores posibles de $S_{ABLM} / S_{ABC}$ , donde $S_{XY ... Z}$ indica el área del polígono $XY...Z$ .

2007 g1.2 En un triángulo $ABC$ , la bisectriz del ángulo en $A$ y las cevianas $BD$ y $CE$ concurren en un punto $P$ dentro del triángulo. Muestre que el cuadrilátero $ADPE$ tiene una circunferencia inscrita si y solo si $AB=AC$ .

El círculo $x^2+ y^2 = r^2$ corta a los ejes coordenados en $A = (r,0), B = (-r,0), C = (0,r)$ y $D = (0,-r).$ Sean $P = (u,v)$ y $Q = (-u,v)$ dos puntos sobre la circunferencia. Sea $N$ el punto de intersección de $PQ$ con el eje $y$, y sea $M$ el pie de la perpendicular trazada desde $P$ al eje $x$. Si $r^2$ es impar, $u = p^m > q^n = v,$ donde $p$ y $q$ son números primos y $m$ y $n$ son números naturales, demuestra que \[ |AM| = 1, \quad |BM| = 9, \quad |DN| = 8, \quad |PQ| = 8. \]