Si $a,b,c$ son números reales no negativos arbitrarios, demuestre la desigualdad $$a^3+b^3+c^3+6abc\ge\frac14(a+b+c)^3$$ con igualdad si y solo si dos de los números son iguales y el tercero es igual a cero.

Demuestre que el número de formas de elegir $6$ entre los primeros $49$ enteros positivos, al menos dos de los cuales son consecutivos, es igual a $\binom{49}6-\binom{44}6$ .

1 Demuestre que si $c$ es un número positivo distinto de $1$ y $n$ un entero positivo, entonces \[n^{2}\leq \frac{c^{n}+c^{-n}-2}{c+c^{-1}-2}. \] N.T.TUAN

Demuestre que no existen enteros $x$ e $y$ que satisfagan $x^2 + 5 = y^3$ . Daniel Harrer

Demuestre que si todas las aristas laterales de una pirámide pentagonal tienen la misma longitud y todos los ángulos entre caras laterales vecinas son iguales, entonces la pirámide es regular.

Se toman puntos $P,Q,R,S$ sobre las aristas respectivas $AC$ , $AB$ , $BD$ y $CD$ de un tetraedro $ABCD$ de modo que $PR$ y $QS$ se intersecan en el punto $N$ y $PS$ y $QR$ se intersecan en el punto $M$ . La recta $MN$ corta al plano $ABC$ en el punto $L$ . Demuestre que las rectas $AL$ , $BP$ y $CQ$ son concurrentes.

En el onomástico de un hombre hay $5$ personas. Los hombres observaron que de cualesquiera $3$ personas hay $2$ que se conocen mutuamente. Demuestre que el hombre puede ordenar a sus invitados alrededor de una mesa circular de tal manera que toda persona tenga a ambos lados personas que conoce. N. Nenov, N. Hazhiivanov

Halle el mayor valor real posible de $S$ y el menor valor posible de $T$ tales que para todo triángulo con lados $a,b,c$ $(a\le b\le c)$ se cumplan las desigualdades: $$S\le\frac{(a+b+c)^2}{bc}\le T.$$

Demuestre que para todo polígono convexo se pueden encontrar tres vértices consecutivos tales que la circunferencia que pasa por ellos cubre el polígono. Jordan Tabov

La base de la pirámide con vértice $S$ es un pentágono $ABCDE$ para el cual $BC>DE$ y $AB>CD$ . Si $AS$ es la arista más larga de la pirámide, demuestre que $BS>CS$ . Jordan Tabov