2017 g1 Sea $\Gamma$ una circunferencia con centro $O$ y diámetro $AB$ , y $C$ el punto medio de un arco $AB$ . $AB$ se prolonga más allá de $ B$ hasta un punto $D$ . $ P$ es un punto tal que $OP = CD$ y la recta $OP$ pasa por el punto medio $M$ de $CD$ . Sea $R$ el punto de tangencia desde $ P$ a $\Gamma$ en el arco $AB$ que no contiene a $C$ . Las intersecciones de $MR$ con $AD$ y de $MD$ con $PR$ son $E$ y $F$ respectivamente. Demuestre que $EF$ y $DR$ son paralelas.

4 Cien personas de 50 países, dos de cada país, están sentadas en un círculo. Demuestre que se las puede repartir en 2 grupos de tal manera que ni dos compatriotas, ni tres personas consecutivas en el círculo, estén en el mismo grupo.

5 Vasya tiene una expresión numérica $$ \Box \cdot \Box +\Box \cdot \Box $$ y 4 tarjetas con números que se pueden poner en los 4 lugares libres de la expresión. Vasya intentó poner las tarjetas de todas las formas posibles y siempre obtuvo el mismo valor como resultado. Demuestra que en tres de sus tarjetas están escritos números iguales.

4 Vova tiene una cuadrícula cuadrada de $72\times 72$. Desafortunadamente, $n$ celdas están manchadas de café. Determina si Vova siempre puede recortar un cuadrado limpio de $3\times 3$ sin su celda central, si a) $n=699$; b) $n=750$.

1 En el jardín de infantes hay una caja grande con bolas de tres colores: rojo, azul y verde, 100 bolas en total. Una vez Pasha sacó de la caja 30 rojas, 10 azules y 20 verdes y jugó con ellas. Luego perdió cinco bolas y devolvió las demás a la caja. Al día siguiente, Sasha sacó de la caja 8 rojas, 18 azules y 48 verdes. ¿Es posible determinar el color de al menos una bola perdida?

6 $p$ es un polinomio con coeficientes enteros y para todo número natural $n$ se tiene $p(n)>n$ . $x_k $ es una sucesión tal que: $x_1=1, x_{i+1}=p(x_i)$ y, para todo $N$ , alguno de los $x_i$ es divisible por $N.$ Demuestre que $p(x)=x+1$ Omid

6 Sea $g(x) = ax^2 + bx + c$ una función cuadrática con coeficientes reales ( $a \ne 0$ ) tal que la ecuación $g(g(x)) = x$ tiene cuatro raíces reales distintas. Demuestra que no existe una función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que satisfaga $f(f(x)) = g(x)$ para todo $x$ real.

5 Sea $ABC$ un triángulo con $AB < AC$, y sea $L$ el punto medio del arco $BC$ de la circunferencia circunscrita $\omega$ de $\triangle ABC$ que no contiene a $A$. Sea $E$ un punto en $AC$ tal que $2\cdot AE = AB + AC$, y sea la recta $EL$ que intersecta a $\omega$ nuevamente en $P$. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $AB$ y $BC$, respectivamente. Demuestra que las rectas $AL$, $BP$ y $MN$ son concurrentes.

5 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Suponga que $D,E,F$ son los pies de las perpendiculares trazadas desde $A,B,C$ a $BC,CA,AB$ . Sean $P,Q,R$ los pies de las perpendiculares trazadas desde $A,B,C$ a $EF,FD,DE$ . Demuestre que \[ 2(PQ+QR+RP)\geq DE+EF+FD \] Nima Ahmadi

Sean $a$, $b$ y $c$ enteros positivos tales que $a^2 + b^2 + 1 = c^2$. Demuestra que $[a/2] + [c/2]$ es par. Nota: $[x]$ es la parte entera de $x$.