4 Luffy está jugando con unas cajas mágicas y una máquina. Cada caja contiene un número. Cuando Luffy abre una caja, ve el número que hay dentro, lo suma a su puntuación (si el número es negativo, su puntuación disminuye en consecuencia) y la caja se destruye. Si Luffy mete una caja con número $X$ en la máquina, esa caja desaparece y es reemplazada por dos cajas nuevas con números $X+1$ y $X-1$ . Él no sabe qué caja tiene qué número, pero puede distinguir las dos cajas nuevas de las antiguas. Al inicio del juego, Luffy tiene una puntuación de $0$ y una sola caja cuyo número se sabe que es $0$ . a) Demuestra que Luffy puede garantizar alcanzar una puntuación de al menos $1000$ . b) ¿Es posible que Luffy garantice alcanzar una puntuación de al menos $10^6$ , sin que su puntuación baje nunca de $-42$ en ningún momento del juego?

5 Sea $\mathbb{R}^{+}$ el conjunto de los números reales positivos. Determina todos los números reales no negativos $\alpha$ para los cuales existe una función $f:\mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+}$ tal que $$f(x^{\alpha}+y)=(f(x+y))^{\alpha}+f(y)$$ para cualesquiera $x,y$ números reales positivos.

6 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $AB + BC = 4 AC$. Sea $D$ un punto en $AC$ tal que $BD$ es la bisectriz del ángulo $\angle ABC$. Sobre el segmento $BD$, se marcan los puntos $P$ y $Q$ tales que $BP = 2 \, DQ$. Sea la perpendicular desde $Q$ a $BD$ que interseca a $AB$ y $BC$ en los puntos $X$ e $Y$, respectivamente. Sea $L$ la recta que pasa por $P$ paralela a $AC$. El punto $B$ se encuentra en el semiplano opuesto determinado por $L$ respecto a los puntos $X$ e $Y$. Una hormiga comienza en el punto $X$, se mueve a un punto sobre la recta $AC$, luego a un punto sobre $L$, regresa a un punto sobre la recta $AC$, y finalmente termina en el punto $Y$. Demuestra que la longitud mínima del recorrido de la hormiga es $4 XY$.

Un entero \(n \ge 3\) se llama poli-pitagórico si existen \(n\) enteros positivos distintos por pares que pueden colocarse en los vértices de un \(n\)-ágono regular de modo que la suma de los cuadrados de cualesquiera dos vértices consecutivos sea a su vez un cuadrado perfecto. Por ejemplo, \(3\) es poli-pitagórico, porque al colocar los números \(44, 117, 240\) en los vértices de un triángulo se obtiene: \[ 44^2 + 117^2 = 125^2, \quad 117^2 + 240^2 = 267^2, \quad 240^2 + 44^2 = 244^2. \] Determina todos los enteros poli-pitagóricos.

2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo, tal que $AB = CD$, $\angle BCD = 2 \angle BAD$, $\angle ABC = 2 \angle ADC$ y $\angle BAD \neq \angle ADC$. Determina la medida del ángulo entre las diagonales $AC$ y $BD$.

3 Sea $n > d > 0$ enteros. Batman, Joker y Clark juegan el siguiente juego en un tablero cuadriculado infinito. Inicialmente, Batman y Joker ocupan celdas a distancia $n$, y un caramelo está en una celda a distancia $d$ de Batman. Batman está vendado y solo puede ver su propia celda. Clark y Joker pueden ver todo el tablero. Los jugadores alternan los siguientes movimientos: 1. Batman se mueve a una celda adyacente. Si toca a Joker, Batman pierde. Si toca el caramelo, Batman gana. Si la celda está vacía, Clark anuncia caliente o frío en voz alta. 2. Joker se mueve a una celda adyacente. Si toca a Batman o al caramelo, Joker gana. De lo contrario, el juego continúa. Para cada $d$, determina el $n$ mínimo tal que Batman y Clark puedan idear una estrategia que garantice la victoria de Batman, sin importar las posiciones iniciales de Joker y del caramelo. Observaciones: Dos celdas son adyacentes si comparten un lado común. La distancia entre dos celdas $X$ y $Y$ es el mínimo $p$ tal que existe una secuencia de celdas $X = X_0, X_1, \dots, X_p = Y$ con $X_i$ adyacente a $X_{i-1}$ para todo $i = 1, \dots, p$.

Un conjunto de puntos en el plano se llama antiparalelogramo si no hay cuatro puntos del conjunto que sean vértices de un paralelogramo. Sea $S$ un conjunto de $2023$ puntos en el plano, sin tres colineales. Demuestra que existe un subconjunto de $17$ puntos de $S$ que es antiparalelogramo.

5 Un entero positivo $\text{N}$ se llama rioplatense si satisface las siguientes condiciones: 1. Es posible encontrar $34$ enteros consecutivos cuyo producto sea divisible por $\text{N}$, pero ninguno de ellos individualmente sea divisible por $\text{N}$. 2. Es imposible encontrar $30$ enteros consecutivos cuyo producto sea divisible por $\text{N}$, pero ninguno de ellos individualmente sea divisible por $\text{N}$. Determina todos los números rioplatenses.

6 Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ tales que $$f(x+f(y+1))+f(xy)=f(x+1)(f(y)+1)$$ para cualesquiera $x,y$ enteros.

6 Un grupo de $4046$ amigos participará en un torneo de videojuegos. Para organizar las partidas, a $2023$ de ellos se les asigna una sala, con computadoras etiquetadas como $a_1, a_2, \dots, a_{2023}$, mientras que los otros $2023$ amigos están en otra sala, con computadoras etiquetadas como $b_1, b_2, \dots, b_{2023}$. El jugador en la computadora $a_i$ reta a los jugadores en las computadoras $b_i, b_{i+2}, b_{i+3}, b_{i+4}$, omitiendo notablemente a $b_{i+1}$. Después de la primera ronda, los jugadores de cada sala pueden cambiar de computadora. Una vez que se completa la reorganización, todos los jugadores observan que están retando exactamente a los mismos oponentes que en la primera ronda. Demuestra que si existe un jugador que no ha cambiado de computadora, entonces ningún jugador ha cambiado de computadora.