4 Para un entero positivo dado $n \ge 8$ , demuestre que existe un conjunto de enteros positivos $A$ tal que $\left | A \right | =n$ y $\left | A-A \right | <\left | A+A \right | $ . Donde $\left | A-A \right |= \left \{ a-b|a\in A, b \in A \right \}$ y $\left | A+A \right |= \left \{ a+b|a\in A, b \in A \right \} $ .

En una sala hay varias personas, algunas de las cuales siempre mienten y todas las demás siempre dicen la verdad. Sus edades son todas distintas dos a dos. Cada persona dice una de las siguientes frases: «En esta sala hay el mismo número de veraces mayores que yo que de mentirosos menores que yo» o «En esta sala hay el mismo número de veraces menores que yo que de mentirosos mayores que yo». ¿Cuál es el número máximo posible de veraces en la sala? Encuentre un ejemplo en el que se alcance este máximo y demuestre que un número mayor es imposible.

Sea $w$ una circunferencia de diámetro $5$ . Se trazaron cuatro rectas que dividen a $w$ en $5$ «franjas», cada una de ancho $1$ . Las franjas se colorearon alternadamente de naranja y púrpura, como se muestra en la figura. ¿Qué área es mayor: la naranja o la púrpura?

Los números reales no nulos $a,b,c,d,e,f,k,m$ satisfacen las ecuaciones \[\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=k\] \[\frac{b}{c}+\frac{d}{e}+\frac{f}{a}=m\] \[ad=be=cf\] Exprese $\frac{a}{c}+\frac{c}{e}+\frac{e}{a}+\frac{b}{d}+\frac{d}{f}+\frac{f}{b}$ en términos de $m$ y $k$ .

Sean $x,y,z$ números reales no negativos. Demuestre que: \[\sqrt{(2x+y)(2x+z)}+\sqrt{(2y+x)(2y+z)}+\sqrt{(2z+x)(2z+y)}\geq \] \[\geq \sqrt{(x+2y)(x+2z)}+\sqrt{(y+2x)(y+2z)}+\sqrt{(z+2x)(z+2y)}.\]

15 Halle el número de 7-tuplas ordenadas $(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_7)$ que satisfacen las siguientes propiedades: $a_k \in \{1,2,3\}$ para todo $k.$ $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7$ es múltiplo de $3.$ $a_1a_2 a_4 + a_2a_3a_5 + a_3a_4 a_6 + a_4 a_5 a_7 + a_5 a_6 a_1 + a_6 a_7 a_2 + a_7 a_1 a_3$ es múltiplo de $3.$

Sophie escribió en un trozo de papel todos los números enteros del 1 al 1000 en notación decimal (incluyendo ambos extremos). a) ¿Qué dígito escribió Sophie con mayor frecuencia? b) ¿Qué dígito escribió Sophie con menor frecuencia?

A Danny le gustan los números de siete cifras con la siguiente propiedad: la cifra de las unidades es divisible por la cifra de las decenas, la cifra de las decenas es divisible por la cifra de las centenas, y así sucesivamente. Por ejemplo, a Danny le gusta el número $1133366$ pero no le gusta $9999993$ . ¿Es la cantidad de números que le gustan a Danny divisible por $7$ ?

21 jugadores participaron en un torneo de tenis, en el que cada pareja de jugadores jugó exactamente una vez y cada partido tuvo un ganador (no se permiten empates). Los organizadores del torneo comprobaron que cada jugador ganó al menos 9 partidos y perdió al menos 9. Además, descubrieron casos de tres jugadores $A,B,C$ en los que $A$ le ganó a $B$ , $B$ le ganó a $C$ y $C$ le ganó a $A$ , y llamaron a tales ternas «problemáticas». a) ¿Cuál es el número máximo posible de ternas problemáticas? b) ¿Cuál es el número mínimo posible de ternas problemáticas?

¿Existe una sucesión infinita de primos $p_1, p_2, p_3, \dots $ para la cual, \[p_{n+1}=2p_n+1\] para cada $n$ ?