4 a) Demuestre que para todo $m,n\in \mathbb N$ existe un número natural $a$ tal que si coloreamos cada subconjunto de $3$ elementos del conjunto $\mathcal A=\{1,2,3,...,a\}$ usando $2$ colores, rojo y verde, entonces existe un subconjunto de $m$ elementos de $\mathcal A$ tal que todos sus subconjuntos de $3$ elementos son rojos, o existe un subconjunto de $n$ elementos de $\mathcal A$ tal que todos sus subconjuntos de $3$ elementos son verdes. b) Demuestre que para todo $m,n\in \mathbb N$ existe un número natural $a$ tal que si coloreamos cada subconjunto de $k$ elementos ( $k>3$ ) del conjunto $\mathcal A=\{1,2,3,...,a\}$ usando $2$ colores, rojo y verde, entonces existe un subconjunto de $m$ elementos de $\mathcal A$ tal que todos sus subconjuntos de $k$ elementos son rojos, o existe un subconjunto de $n$ elementos de $\mathcal A$ tal que todos sus subconjuntos de $k$ elementos son verdes.

1 Suponga que $0<m_1<...<m_n$ y $m_i \equiv i (\mod 2)$ . Demuestre que el siguiente polinomio tiene a lo sumo $n$ raíces reales. ( $\forall 1\le i \le n: a_i \in \mathbb R$ ) . \[a_0+a_1x^{m_1}+a_2x^{m_2}+...+a_nx^{m_n}.\]

2 Suponga que $N\in \mathbb N$ no es un cuadrado perfecto; entonces sabemos que la fracción continua de $\sqrt{N}$ es de la forma $\sqrt{N}=[a_0,\overline{a_1,a_2,...,a_n}]$ . Si $a_1\neq 1$ demuestre que $a_i\le 2a_0$ .

3 Suponga que $p$ es un número primo y $a,b,c \in \mathbb Q^+$ son números racionales; a) Demuestre que $\mathbb Q(\sqrt[p]{a}+\sqrt[p]{b})=\mathbb Q(\sqrt[p]{a},\sqrt[p]{b})$ . b) Si $\sqrt[p]{b} \in \mathbb Q(\sqrt[p]{a})$ , demuestre que para un entero no negativo $k$ tenemos $\sqrt[p]{\frac{b}{a^k}}\in \mathbb Q$ . c) Si $\sqrt[p]{a}+\sqrt[p]{b}+\sqrt[p]{c} \in \mathbb Q$ , entonces demuestre que los números $\sqrt[p]{a},\sqrt[p]{b}$ y $\sqrt[p]{c}$ son racionales.

4 Suponga que $f(z)=z^n+a_1z^{n-1}+...+a_n$ para el cual $a_1,a_2,...,a_n\in \mathbb C$ . Demuestre que el siguiente polinomio tiene una única raíz real positiva, digamos $\alpha$ \[x^n+\Re(a_1)x^{n-1}-|a_2|x^{n-2}-...-|a_n|\] y que el siguiente polinomio tiene una única raíz real positiva, digamos $\beta$ \[x^n-\Re(a_1)x^{n-1}-|a_2|x^{n-2}-...-|a_n|.\] Y las raíces del polinomio $f(z)$ satisfacen $-\beta \le \Re(z) \le \alpha$ .

5 Sea $p$ un número primo impar y sean $a_1,a_2,...,a_n \in \mathbb Q^+$ números racionales. Demuestre que \[\mathbb Q(\sqrt[p]{a_1}+\sqrt[p]{a_2}+...+\sqrt[p]{a_n})=\mathbb Q(\sqrt[p]{a_1},\sqrt[p]{a_2},...,\sqrt[p]{a_n}).\]

1 Sea $G$ una gráfica simple no dirigida con vértices $v_1,v_2,...,v_n$ . Denotamos el número de orientaciones acíclicas de $G$ por $f(G)$ . a) Demuestre que $f(G)\le f(G-v_1)+f(G-v_2)+...+f(G-v_n)$ . b) Sea $e$ una arista de la gráfica $G$ . Denote por $G'$ la gráfica obtenida al omitir $e$ y hacer de sus dos extremos un solo vértice. Demuestre que $f(G)=f(G-e)+f(G')$ . c) Demuestre que para cada $\alpha >1$ existe una gráfica $G$ y una arista $e$ de ella tales que $\frac{f(G)}{f(G-e)}<\alpha$ . Propuesto por Morteza Saghafian

2 Suponga que $S$ es una figura convexa en el plano de área $10$ . Considere una cuerda de longitud $3$ en $S$ y sean $A$ y $B$ dos puntos sobre esta cuerda que la dividen en tres partes iguales. Para un punto variable $X$ en $S-\{A,B\}$ , sean $A'$ y $B'$ los puntos de intersección de los rayos $AX$ y $BX$ con la frontera de $S$ . Sea $S'$ el conjunto de aquellos puntos $X$ para los cuales $AA'>\frac{1}{3} BB'$ . Demuestre que el área de $S'$ es al menos $6$ . Propuesto por Ali Khezeli

3 Demuestre que para cada $n \in \mathbb N$ existen números naturales $a_1<a_2<...<a_n$ tales que $\phi(a_1)>\phi(a_2)>...>\phi(a_n)$ . Propuesto por Amirhossein Gorzi

4 Tenemos $n$ bolsas, cada una con $100$ monedas. Todas las bolsas tienen monedas de $10$ gramos excepto una de ellas que tiene monedas de $9$ gramos. Tenemos una balanza que puede mostrar los pesos de las cosas que pesan a lo sumo $1$ kilogramo. ¿Cuántas veces como mínimo debemos usar la balanza para encontrar la bolsa diferente? Propuesto por Hamidreza Ziarati