5 Como se muestra en la figura siguiente, el incírculo de $ABC$ es tangente a los lados $AB$ y $AC$ en $D$ y $E$ respectivamente, y $O$ es el circuncentro de $BCI$. Demuestre que $\angle ODB = \angle OEC$. [asy]import graph; size(5.55cm); pathpen=linewidth(0.7); pointpen=black; pen fp=fontsize(10); pointfontpen=fp; real xmin=-5.76,xmax=4.8,ymin=-3.69,ymax=3.71; pen zzttqq=rgb(0.6,0.2,0), wwwwqq=rgb(0.4,0.4,0), qqwuqq=rgb(0,0.39,0); pair A=(-2,2.5), B=(-3,-1.5), C=(2,-1.5), I=(-1.27,-0.15), D=(-2.58,0.18), O=(-0.5,-2.92); D(A--B--C--cycle,zzttqq); D(arc(D,0.25,-104.04,-56.12)--(-2.58,0.18)--cycle,qqwuqq); D(arc((-0.31,0.81),0.25,-92.92,-45)--(-0.31,0.81)--cycle,qqwuqq); D(A--B,zzttqq); D(B--C,zzttqq); D(C--A,zzttqq); D(CR(I,1.35),linewidth(1.2)+dotted+wwwwqq); D(CR(O,2.87),linetype("2 2")+blue); D(D--O); D((-0.31,0.81)--O); D(A); D(B); D(C); D(I); D(D); D((-0.31,0.81)); D(O); MP( "A", A, dir(110)); MP("B", B, dir(140)); D("C", C, dir(20)); D("D", D, dir(150)); D("E", (-0.31, 0.81), dir(60)); D("O", O, dir(290)); D("I", I, dir(100)); clip((xmin,ymin)--(xmin,ymax)--(xmax,ymax)--(xmax,ymin)--cycle); [/asy]

6 Hay $n$ ciudades y $2$ compañías aéreas en un país. Entre cualesquiera dos ciudades hay exactamente un vuelo de $2$ vías que las conecta, operado por una de las dos compañías. Una matemática planea una ruta de viaje, de modo que comienza y termina en la misma ciudad, pasa por al menos otras dos ciudades, y cada ciudad en la ruta es visitada una vez. Ella descubre que dondequiera que comience y cualquier ruta que elija, debe tomar vuelos de ambas compañías. Halle el máximo valor de $n$.

2 Sean \( a,b,c \in (0,1) \) y \( ab+bc+ca=4abc \). Demuestra que \[ \sqrt{a+b+c}\geq \sqrt{1-a}+\sqrt{1-b}+\sqrt{1-c} \]

Dada la sucesión $(a_n)$ que satisface $1=a_1< a_2 < a_3< \cdots<a_n$ y existe un número real $m$ tal que $$\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1} \sqrt[3]{\frac{a_{i+1}-a_i}{(2+a_i)^4}}\leq m $$ para cualquier entero positivo $ n $ no menor que 2. Encuentra el mínimo de $m.$

5 Un triángulo rectángulo tiene la propiedad de que sus lados son enteros positivos primos relativos dos a dos y de que la razón entre su área y su perímetro es un cuadrado perfecto. Halle el área mínima posible de este triángulo.

5 Halle todos los $x$ no enteros tales que $x+\frac{13}{x}=[x]+\frac{13}{[x]} . $ donde $[x]$ denota el mayor entero $n$ tal que $n\leq x.$

1 Como se muestra en la figura, dado $\vartriangle ABC$ con $AB \perp AC$ , $AB=BC$ , $D$ es el punto medio del lado $AB$ , $DF\perp DE$ , $DE=DF$ y $BE \perp EC$ . Demuestre que $\angle AFD= \angle CEF$ . https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/9/2/f16a8c8c463874f3ccb333d91cdef913c34189.png

2 (1) Halle el menor entero positivo $a$ tal que $221|3^a -2^a$ , (2) Sea $A=\{n\in N^*: 211|1+2^n+3^n+4^n\}$ . ¿Existen infinitos números $n$ tales que tanto $n$ como $n+1$ pertenecen al conjunto $A$ ?

3 Sea $\{a_n\}$ una sucesión de términos positivos tal que $a_{n+1}=a_n+ \frac{n^2}{a_n}$ . Sea $b_n =a_n-n$ . (1) ¿Existen infinitos $n$ tales que $b_n \ge 0$ ? (2) Demuestre que existe un número positivo $M$ tal que $\sum^{\infty}_{n=3} \frac{b_n}{n+1}<M$ .

Dado un grafo finito $G$, sea $f(G)$ el número de triángulos en el grafo $G$, y $g(G)$ el número de aristas en el grafo $G$. Encuentra la constante mínima $c$ tal que para todo grafo $G$ se cumpla que $f^2(G) \le c \cdot g^3(G)$.