3 Para un entero positivo $n$, define $\text{P}_n = 1!\cdot 2!\cdot 3! \cdots (n-1)! \cdot n!$. a) Determina todos los enteros positivos $m$ tales que $\frac{\text{P}_{2020}}{m!}$ es un cuadrado perfecto. b) Demuestra que existen infinitos enteros positivos $n$ para los cuales $\frac{\text{P}_n}{m!}$ es un cuadrado perfecto para al menos dos enteros positivos distintos $m$.

4 Sea $n \ge 4$. Considera subconjuntos $A_1, A_2, \dots, A_m$ de $\{1,2,\dots,n\}$ tales que $|A_i| = i$ para $i = 1,2,\dots,m$, y ningún conjunto está contenido en otro. Encuentra el valor máximo posible de $m$.

5 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $\angle BAC = 60^\circ$. Sean $I$ y $O$ su incentro y circuncentro, respectivamente. En la circunferencia circunscrita de $\triangle BOC$, sea $H$ el punto diametralmente opuesto a $O$. Demuestra que $IH = BI + IC$.

Una sucesión de enteros positivos $(a_n)_{n \ge 1}$ se llama alagoana si, para todo entero positivo $n$, se cumplen las siguientes condiciones: $\bullet$ $a_{n!} = a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdots a_n$ $\bullet$ El número $a_n$ es la $n$-ésima potencia de un entero positivo. Determina todas las sucesiones alagoanas.

1 En un triángulo \(ABC\), \(L\) y \(K\) son los puntos de intersección de las bisectrices de los ángulos \(\angle ABC\) y \(\angle BAC\) con los segmentos \(AC\) y \(BC\), respectivamente. El segmento \(KL\) es bisectriz del ángulo \(\angle AKC\), determina \(\angle BAC\).

2. Determina todos los números de diez cifras cuyo decimal $\overline{a_0a_1a_2a_3a_4a_5a_6a_7a_8a_9}$ está dado por tal que para cada entero $j$ con $0\le j \le 9$, $a_j$ es igual al número de dígitos iguales a $j$ en esa representación. Es decir: el primer dígito es igual a la cantidad de "$0$" en la escritura de ese número, el segundo dígito es igual a la cantidad de "$1$" en la escritura de ese número, el tercer dígito es igual a la cantidad de "$2$" en la escritura de ese número, ... , el décimo dígito es igual al número de "$9$" en la escritura de ese número.

3 En el centro de un cuadrado hay un conejo y en cada vértice de este cuadrado par, un lobo. Los lobos solo se mueven a lo largo de los lados del cuadrado y el conejo se mueve libremente en el plano. Sabiendo que el conejo se mueve a una velocidad de $10$ km/h y que los lobos se mueven a una velocidad máxima de $14$ km/h, determina si existe una estrategia para que el conejo salga del cuadrado sin ser atrapado por los lobos.

4 Sea $a$ un número real, tal que $a\ne 0, a\ne 1, a\ne -1$ y $m,n,p,q$ números naturales. Demuestra que si $a^m+a^n=a^p+a^q$ y $a^{3m}+a^{3n}=a^{3p}+a^{3q}$, entonces $m \cdot n = p \cdot q$.

1 Dado un trapecio $ABCD$ ( $AD \parallel BC$ ) con $\angle ABC > 90^\circ$ . Se elige un punto $M$ en el lado lateral $AB$ . Sean $O_1$ y $O_2$ los circuncentros de los triángulos $MAD$ y $MBC$ , respectivamente. Las circunferencias de los triángulos $MO_1D$ y $MO_2C$ se cortan de nuevo en el punto $N$ . Demuestra que la recta $O_1O_2$ pasa por el punto $N$ . Amir

2 Encuentra todos los enteros positivos impares $n>1$ tales que existe una permutación $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$ de los números $1, 2,3, \ldots, n$ donde $n$ divide a uno de los números $a_k^2 - a_{k+1} - 1$ y $a_k^2 - a_{k+1} + 1$ para cada $k$ , $1 \leq k \leq n$ (asumimos $a_{n+1}=a_1$ ) . Amir