. Los números reales $a$ y $b$ satisfacen $a+b=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=6$ . Halle el valor de $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$ . P2. Halle las dos últimas cifras del número $7^{2013}$ . P3. En una isla viven $7$ camaleones azules, $9$ verdes y $11$ rojos. Cuando dos camaleones de colores distintos se encuentran, ambos cambian su color al tercero (azul y verde se vuelven rojos, etc.). ¿Es posible que en algún momento todos los camaleones se vuelvan del mismo color? P4. Halle todos los números naturales divisibles por $5$ y por $9$ que tienen exactamente $10$ divisores positivos (incluyendo $1$ y el propio número). P5. Resuelva en números reales la ecuación $\sqrt{x^{2}-8x+41}+\sqrt{y^{2}+6y+25}=9$ . P6. La longitud de la altura $AD$ del triángulo $ABC$ es dos veces menor que la longitud del lado $BC$ . ¿Puede el ángulo $A$ ser obtuso?

. Se da un cuadrado $ABCD$ . Se eligen puntos $M$ y $N$ sobre los segmentos $AC$ y $BC$ , respectivamente, que no coinciden con los extremos, tales que $MN=MD$ . Halle la medida del ángulo $\angle MDN$ . P2. Los enteros coprimos $a$ y $b$ con $a>b$ satisfacen $\frac{a^{3}-b^{3}}{(a-b)^{3}}=\frac{73}{3}$ . Halle el valor de $a-b$ . P3. En una isla viven $7$ camaleones azules, $9$ verdes y $11$ rojos. Cuando dos camaleones de colores distintos se encuentran, ambos cambian su color al tercero (azul y verde se vuelven rojos, etc.). ¿Es posible que en algún momento todos los camaleones se vuelvan del mismo color? P4. ¿Existe un número primo de la forma $k^{4}+{64}$ , donde $k$ es un entero? P5. La longitud de la altura $AD$ del triángulo $ABC$ es dos veces menor que la longitud del lado $BC$ . ¿Puede el ángulo $A$ ser obtuso? P6. ¿Para qué valores del parámetro $a$ el sistema $\left\{\begin{aligned} x+y+z &=a+1, \\ xy+yz+zx &=2a, \\ xyz &=a \end{aligned}\right.$ tiene una solución en números reales?

. Las seis distancias por pares entre cuatro puntos distintos del plano son iguales a $a, a, a, a, 2a, b$ . Halle la razón $\frac{b}{a}$ . P2. Halle todos los pares de números naturales $(m,n)$ que satisfacen la siguiente condición: la suma de los primeros $m$ números naturales impares excede en $n$ a la suma de los primeros $212$ números naturales pares. P3. Halle el resto cuando el polinomio $x^{2013}+1$ se divide por $(x+1)^{3}$ . P4. La función $f: \mathbb{R}\backslash\{0,1\}\to\mathbb{R}$ está definida por $f(x)=\frac{(x^{2}-x+1)^{3}}{x^{2}(x-1)^{2}}$ . Demuestre que $f(x)=f(1-x)=f\left(\frac{1}{x}\right)$ para todo $x\in\mathbb{R}\backslash\{0,1\}$ . P5. Sobre los lados $AC$ y $AB$ de un triángulo equilátero $ABC$ se eligen puntos $M$ y $N$ , respectivamente, tales que $\frac{MC}{MA}=\frac{NA}{NB}=2$ . Sea $P$ el punto de intersección de los segmentos $BM$ y $CN$ . Demuestre que $\angle APC=90^{\circ}$ . P6. En un tablero están escritos los números $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots, \frac{1}{100}$ . Cada minuto se realiza la siguiente operación: dos números $a$ y $b$ se borran y se reemplazan por el número $a+b+ab$ . Después de un tiempo solo queda un número en el tablero. ¿Cuál es este número?

. En una isla viven $7$ camaleones azules, $9$ verdes y $11$ rojos. Cuando dos camaleones de colores distintos se encuentran, ambos cambian su color al tercero (azul y verde se vuelven rojos, etc.). ¿Es posible que en algún momento todos los camaleones se vuelvan del mismo color? P2. Halle todos los pares de números naturales $(m,n)$ que satisfacen la siguiente condición: la suma de los primeros $m$ números naturales impares excede en $n$ a la suma de los primeros $212$ números naturales pares. P3. Sea $[u]$ la parte entera de un número real $u$ , es decir, el mayor entero que no excede a $u$ . Resuelva en números reales la ecuación \[\left[x+\frac{1}{6}\right]+\left[x+\frac{3}{6}\right]+\left[x+\frac{5}{6}\right]=[x]+\left[x+\frac{2}{6}\right]+\left[x+\frac{4}{6}\right]\] . P4. ¿Existen números reales $a, b, c$ distintos por pares tales que $(a-b)^{5}+(b-c)^{5}+(c-a)^{5}=0$ ? P5. Sobre los lados $AC$ y $AB$ de un triángulo equilátero $ABC$ se eligen puntos $M$ y $N$ , respectivamente, tales que $\frac{MC}{MA}=\frac{NA}{NB}=2$ . Sea $P$ el punto de intersección de los segmentos $BM$ y $CN$ . Demuestre que $\angle APC=90^{\circ}$ . P6. En un tablero están escritos los números $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots, \frac{1}{100}$ . Cada minuto se realiza la siguiente operación: dos números $a$ y $b$ se borran y se reemplazan por el número $a+b+ab$ . Después de un tiempo solo queda un número en el tablero. ¿Cuál es este número?

1–10 1. Si $x^3 - x + 1 = a_0 + a_1(x-2) + a_2(x-2)^2 + a_3(x-2)^3$ , entonces $(a_0,a_1,a_2,a_3)$ es igual a $\textbf{(A)}\; (1,-1,0,1) \quad \textbf{(B)}\; (7,6,10,1) \quad \textbf{(C)}\; (7,11,12,6) \quad \textbf{(D)}\; (7,11,6,1).$ 2. Suponga que $f(x)$ y $g(x)$ son funciones diferenciables con valores reales tales que $f'(x) \ge g'(x)$ para todo $x$ en $[0,1]$ . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es necesariamente verdadera? $\textbf{(A)}\; f(1) \ge g(1) \quad \textbf{(B)}\; f-g \text{ has no maximum on } [0,1]$ $\textbf{(C)}\; f(1)-g(1) \ge f(0)-g(0) \quad \textbf{(D)}\; f+g \text{ is a non-decreasing function on } [0,1].$ 3. La ecuación $x^4 + x^2 - 1 = 0$ tiene $\textbf{(A)}\; \text{two positive and two negative roots} \quad \textbf{(B)}\; \text{all positive roots}$ $\textbf{(C)}\; \text{one positive, one negative and two non-real roots} \quad \textbf{(D)}\; \text{no real root}.$ 4. Sea $n$ un número natural. Sean $A$ y $B$ matrices de $n \times n$ . Si $A$ es invertible, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es necesariamente verdadera? $\textbf{(A)}\; \operatorname{rank}(AB) < \operatorname{rank}(B) \quad \textbf{(B)}\; \operatorname{rank}(AB) > \operatorname{rank}(B)$ $\textbf{(C)}\; \operatorname{rank}(AB) = \operatorname{rank}(B) \quad \textbf{(D)}\; \operatorname{rank}(AB) < \operatorname{rank}(A).$ 5. Sea $X$ un conjunto y sean $A,B,C$ sus subconjuntos. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es necesariamente verdadera? $\textbf{(A)}\; A-(A-B)=B \quad \textbf{(B)}\; A-(B\cap C)=(A-B)\cap(A-C)$ $\textbf{(C)}\; A-(B\cup C)=(A-B)\cup(A-C) \quad \textbf{(D)}\; B-(A-B)=B.$ 6. Para un número real $x$ , sea $[x]$ el mayor entero que no excede a $x$ . Para un número natural $n$ , sea $a_n=\left[\dfrac{n\sqrt{2}}{n}\right]$ . El límite $\lim_{n\to\infty} a_n$ $\textbf{(A)}\; \text{equals }0 \quad \textbf{(B)}\; \text{equals }[\sqrt{2}] \quad \textbf{(C)}\; \text{equals }\sqrt{2} \quad \textbf{(D)}\; \text{does not exist}.$ 7. Sea $M$ un número natural de dos cifras. Sea $N$ el número natural cuyas cifras son las de $M$ pero en orden inverso. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones \emph{no puede} ser la suma de $M$ y $N$ ? $\textbf{(A)}\; 181 \quad \textbf{(B)}\; 165 \quad \textbf{(C)}\; 121 \quad \textbf{(D)}\; 154.$ 8. El valor de $\displaystyle \lim_{x\to1} \frac{\int_1^x e^{t^2}\,dt}{x^2-1}$ es $\textbf{(A)}\; 0 \quad \textbf{(B)}\; 1 \quad \textbf{(C)}\; e \quad \textbf{(D)}\; \frac{e}{2}.$ 9. Sea $n$ cualquier entero positivo y $1 \le x_1 < x_2 < \cdots < x_{n+1} \le 2n$ , donde cada $x_i$ es un entero. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones debe ser verdadera? (I) Existe un $i$ tal que $x_i$ es un cuadrado de un entero. (II) Existe un $i$ tal que $x_{i+1}=x_i+1$ . (III) Existe un $i$ tal que $x_i$ es primo. $\textbf{(A)}\; \text{I only} \quad \textbf{(B)}\; \text{II only} \quad \textbf{(C)}\; \text{I and II only} \quad \textbf{(D)}\; \text{II and III only}.$ 10. Dos números reales $x$ y $y$ se eligen uniformemente al azar del intervalo $[0,1]$ . Halle la probabilidad de que $2x>y$ . $\textbf{(A)}\; \frac14 \quad \textbf{(B)}\; \frac12 \quad \textbf{(C)}\; \frac23 \quad \textbf{(D)}\; \frac34.$

2 Suponga que $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es una función no constante que satisface $f(x+y) = f(x)f(y)$ para todo $x, y \in \mathbb{R}$ . Demuestre que: $f(x) \neq 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$ ; $f(x) > 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$ ; si $f$ es diferenciable en $0$ , entonces $f$ es diferenciable en $\mathbb{R}$ y existe un número real $\beta$ tal que $f(x) = \beta^x$ para todo $x \in \mathbb{R}$ .

3 Sea $n$ un número natural. Suponga que $P_1, P_2, \dots, P_n$ son puntos sobre un círculo de radio $1$ . Demuestre que \[ \sum_{1 \le i < j \le n} d(P_i, P_j)^2 \le n^2, \] donde, para puntos $X$ y $Y$ del plano, denotamos por $d(X, Y)$ la distancia entre ellos. Demuestre que la igualdad puede cumplirse para todo número natural $n$ .

4 Sea $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ una función tal que $f(0) = 0$ . Suponga que $|f(z) - f(w)| = |z - w|$ para todo $w \in \{0, 1, i\}$ y $z \in \mathbb{C}$ . Demuestre que $f(z) = \alpha z$ o $f(z) = \alpha \bar{z}$ para algún $\alpha \in \mathbb{C}$ con $|\alpha| = 1$ .

1 (a) Para cualquier polinomio $p(t)$ , el límite \[ \lim_{t \to \infty} \frac{p(t)}{e^t} \] es independiente del polinomio $p$ . Justifique esta afirmación y halle el valor del límite. (b) Considere la función definida por \[ q(x) = \begin{cases} e^{-1/x} & \text{when } x > 0, \\ 0 & \text{when } x = 0, \\ e^{1/x} & \text{when } x < 0. \end{cases} \] Demuestre que $q'(0)$ existe y halle su valor. ¿Por qué basta calcular el límite correspondiente solo por un lado? (c) Ahora, para cualquier entero positivo $n$ , demuestre que $q^{(n)}(0)$ existe y halle su valor. Aquí $q(x)$ es la función de la parte (b) y $q^{(n)}(0)$ denota su $n$ -ésima derivada en $x = 0$ .

2 Sean $p, q$ y $r$ números reales con $p^2 + q^2 + r^2 = 1$ . (a) Demuestre la desigualdad \[ 3p^2q + 3p^2r + 2q^3 + 2r^3 \le 2. \] (b) Halle también el menor valor posible de $3p^2q + 3p^2r + 2q^3 + 2r^3$ . Especifique exactamente cuándo se alcanzan el menor y el mayor valor posible.