9 En un triángulo $ABC$, $\angle BAC = 100^{\circ}, AB = AC$. Se elige un punto $D$ sobre el lado $AC$ tal que $\angle ABD = \angle CBD$. Demuestre que $AD + DB = BC.$ Amir

10 Un conjunto de $n$ dados estándar se agita y se colocan al azar en línea recta. Si $n < 2r$ y $r < s$, entonces la probabilidad de que haya una cadena de al menos $r$, pero no más de $s$, unos $1$ consecutivos puede escribirse como $\frac{P}{6^{s+2}}$. Halle una expresión explícita para $P$. Amir

11 Demuestre que la suma de los ángulos de las caras en cada vértice de un tetraedro es un ángulo llano si y solo si las caras son triángulos congruentes. Amir

12 Sea $O$ un punto interior de un tetraedro $A_1A_2A_3A_4$. Sean $ S_1, S_2, S_3, S_4$ esferas con centros $A_1,A_2,A_3,A_4$, respectivamente, y sean $U, V$ esferas con centros en $O$. Suponga que para $i, j = 1, 2, 3, 4, i \neq j$, las esferas $S_i$ y $S_j$ son tangentes entre sí en un punto $B_{ij}$ situado sobre $A_iA_j$. Suponga además que $U $ es tangente a todas las aristas $A_iA_j$ y que $V$ es tangente a las esferas $ S_1, S_2, S_3, S_4$. Demuestre que $A_1A_2A_3A_4$ es un tetraedro regular. Amir

13 Sea $N = \{1, 2, \ldots, n\}$, $n \geq 3$. A cada par $i \neq j $ de elementos de $N$ se le asigna un número $f_{ij} \in \{0, 1\}$ tal que $f_{ij} + f_{ji} = 1$. Sea $r(i)=\sum_{i \neq j} f_{ij}$, y escriba $M = \max_{i\in N} r(i)$, $m = \min_{i\in N} r(i)$. Demuestre que para cualquier $w \in N$ con $r(w) = m$ existen $u, v \in N$ tales que $r(u) = M$ y $f_{uv}f_{vw} = 1$. Amir

14 Dado un punto $P_0$ en el plano del triángulo $A_1A_2A_3$. Defina $A_s=A_{s-3}$ para todo $s\ge4$. Construya un conjunto de puntos $P_1,P_2,P_3,\ldots$ tal que $P_{k+1}$ es la imagen de $P_k$ bajo una rotación con centro $A_{k+1}$ y ángulo $120^o$ en el sentido de las agujas del reloj, para $k=0,1,2,\ldots$. Demuestre que si $P_{1986}=P_0$, entonces el triángulo $A_1A_2A_3$ es equilátero.

15 Sea $\mathbb N = B_1\cup\cdots \cup B_q$ una partición del conjunto $\mathbb N$ de todos los enteros positivos, y sea dado un entero $l \in \mathbb N$. Demuestre que existen un conjunto $X \subset \mathbb N$ de cardinalidad $l$, un conjunto infinito $T \subset \mathbb N$, y un entero $k$ con $1 \leq k \leq q$ tales que para cualquier $t \in T$ y cualquier conjunto finito $Y \subset X$, la suma $t+ \sum_{y \in Y} y$ pertenece a $B_k.$ Amir

16 Dado un entero positivo $k$, halle el menor entero $n_k$ para el cual existen cinco conjuntos $S_1, S_2, S_3, S_4, S_5$ con las siguientes propiedades: \[|S_j|=k \text{ for } j=1, \cdots , 5 , \quad |\bigcup_{j=1}^{5} S_j | = n_k ;\] \[|S_i \cap S_{i+1}| = 0 = |S_5 \cap S_1|, \quad \text{for } i=1,\cdots ,4 \] Amir

4 En un planeta esférico Zork hay varias ciudades y rutas aéreas que las conectan. Cada ciudad tiene una ciudad gemela (la ciudad simétrica a ella con respecto al centro del planeta). Se sabe que si hay una aerolínea que conecta las ciudades $P$ y $Q$ , entonces también hay una aerolínea que conecta sus ciudades gemelas $P'$ y $Q'$ . También se sabe que se puede viajar de cualquier ciudad a cualquier otra usando la red de aerolíneas. El precio de una tonelada de combustible en dos ciudades cualesquiera conectadas por una aerolínea difiere en a lo sumo $50$ monedas de oro. Demuestre que existen dos ciudades gemelas en las que el precio de una tonelada de combustible difiere en a lo sumo $50$ monedas de oro.

24 Se dan en el plano dos familias de rectas paralelas, que constan de $15$ y $11$ rectas, respectivamente. En cada familia, cualesquiera dos rectas vecinas están a distancia unidad entre sí; las rectas de la primera familia son perpendiculares a las rectas de la segunda familia. Sea $V$ el conjunto de los $165$ puntos de intersección de las rectas en cuestión. Muestre que existen no menos de $1986$ cuadrados distintos con vértices en el conjunto $V .$ Amir