4 Sea $c > 1$ un número real. Una función $f: [0 ,1 ] \to R$ se llama c-amigable si $f(0) = 0, f(1) = 1$ y $|f(x) -f(y)| \le c|x - y|$ para todos los números $x ,y \in [0,1]$ . Encuentra el máximo de la expresión $|f(x) - f(y)|$ para todas las funciones c-amigables $f$ y para todos los números $x,y \in [0,1]$ .

1997.4 Dibuja un cuadrado $[ABCD]$ con un lado de $8$ cm y un círculo que pasa por los vértices $B$ y $C$ y es tangente al lado $[AD]$. ¿Cuánto mide el radio del círculo?

5 Inicialmente, el número $0$ está escrito en cada celda de una tabla de $29 \times 29$. Un movimiento consiste en elegir una subtabla de $5 \times 5$ y sumar $1$ a cada una de sus celdas. Determina el valor máximo de $n$ tal que, después de $1000$ movimientos, existan cuatro celdas cuyos centros sean los vértices de un cuadrado (el cuadrado no necesariamente tiene lados paralelos a la tabla) y la suma de los números en estas cuatro celdas sea al menos $n$.

Cuando los números naturales se escriben uno tras otro en orden creciente, se obtiene una sucesión infinita de dígitos $123456789101112 ....$ Denota $A_k$ el número formado por los primeros $k$ dígitos de esta sucesión. Demuestra que para todo entero positivo $n$ existe un entero positivo $m$ que verifica simultáneamente las tres condiciones siguientes: (i) $n$ divide a $A_m$, (ii) $n$ divide a $m$, (iii) $n$ divide a la suma de los dígitos de $A_m$.

1 Considera $10$ enteros positivos distintos que son todos primos entre sí (es decir, no hay un factor primo común a todos), pero tales que cualesquiera dos de ellos no son primos entre sí. ¿Cuál es el número más pequeño de factores primos distintos que puede aparecer en el producto de los $10$ números?

2 El círculo $\omega_1$ interseca al círculo $\omega_2$ en los puntos $A$ y $B$, una recta tangente a estos círculos interseca a $\omega_1$ y $\omega_2$ en los puntos $E$ y $F$ respectivamente. Supón que $A$ está dentro del triángulo $BEF$, sea $H$ el ortocentro de $BEF$ y $M$ el punto medio de $BH$. Demuestra que los centros de los círculos $\omega_1$ y $\omega_2$ y el punto $M$ son colineales.

3 Supón que un número real $a$ es raíz de un polinomio con coeficientes enteros $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$. Sea $G=|a_n|+|a_{n-1}|+...+|a_1|+|a_0|$. Decimos que $G$ es un gingado de $a$. Por ejemplo, como $2$ es raíz de $P(x)=x^2-x-2$, $G=|1|+|-1|+|-2|=4$, decimos que $4$ es un gingado de $2$. ¿Cuál es el cuarto número real más grande $a$ tal que $3$ es un gingado de $a$?

A1 Un conjunto $A$ está dotado de una operación binaria $*$ que satisface las siguientes cuatro condiciones: (1) Si $a, b, c$ son elementos de $A$, entonces $a * (b * c) = (a * b) * c$, (2) Si $a, b, c$ son elementos de $A$ tales que $a * c = b * c$, entonces $a = b$, (3) Existe un elemento $e$ de $A$ tal que $a * e = a$ para todo $a$ en $A$, y (4) Si $a$ y $b$ son elementos distintos de $A-\{e\}$, entonces $a^3 * b = b^3 * a^2$, donde $x^k = x * x^{k-1}$ para todos los enteros $k \ge 2$ y todo $x$ en $A$. Determina la mayor cardinalidad que puede tener $A$. propuesto por Bojan Basic, Serbia

Una sucesión numérica se llama lusófona si cumple las siguientes tres condiciones: i) El primer término de la sucesión es el número $1$ . ii) Para obtener el siguiente término de la sucesión podemos multiplicar el término anterior por un número primo positivo ( $2,3,5,7,11, ...$ ) o sumarle $1$ . iii) El último término de la sucesión es el número $2016$ . Por ejemplo: $1\overset{{\times 11}}{\to}11 \overset{{\times 61}}{\to} 671 \overset{{+1}}{\to}672 \overset{{\times 3}}{\to}2016$ ¿Cuántas sucesiones lusófonas existen en las que (como en el ejemplo anterior) la operación de sumar $1$ se usó exactamente una vez y no se multiplicó dos veces por el mismo número primo?

Fuente: Olimpiada Lusófona 2016 Demuestra que cualquier potencia positiva de $2$ se puede escribir como: $$5xy-x^2-2y^2$$ donde $x$ e $y$ son números impares.