3 Halle todos los pares ordenados de enteros positivos $(m,n)$ tales que $2^n-1$ divide a $2^m+1$ .

1 Sea $ABCD$ un trapecio inscrito tal que los lados $[AB]$ y $[CD]$ son paralelos. Si $m(\widehat{AOD})=60^\circ$ y la altura del trapecio es $10$ , ¿cuál es el área del trapecio?

2 Sea $N>1$ un entero. Sumamos todos los residuos que se obtienen al dividir $N$ entre todos los enteros positivos menores que $N$ . Si esta suma es menor que $N$ , halle todos los valores posibles de $N$ .

3 $11$ cargadores llevarán $270$ kg de melones en un solo viaje, donde cada melón pesa a lo sumo $7$ kg. Cada cargador puede llevar a lo sumo $30$ kg en un viaje. Muestre que es posible llevar todos los melones en un solo viaje, cualquiera sea el peso de cada melón.

1 Sea $ABC$ un triángulo con $\angle BAC = 90^\circ$ . Construya el cuadrado $BDEC$ de modo que $A$ y el cuadrado estén en lados opuestos de $BC$ . La bisectriz del ángulo $\angle BAC$ corta a los lados $[BC]$ y $[DE]$ en $F$ y $G$ , respectivamente. Si $|AB|=24$ y $|AC|=10$ , calcule el área del cuadrilátero $BDGF$ .

2 Halle el menor entero positivo $n$ tal que $15$ divide al producto \[a_1a_2\dots a_{15}\left (a_1^n+a_2^n+\dots+a_{15}^n \right )\] , para todos los enteros positivos $a_1, a_2, \dots, a_{15}$ .

3 $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ satisface la ecuación \[f(x)f(y)-af(xy)=x+y\] , para todos los números reales $x,y$ . Halle todos los valores reales posibles de $a$ .

1 La cuerda $[CD]$ es paralela al diámetro $[AB]$ de una circunferencia con centro $O$ . La recta tangente en $A$ interseca a $BC$ y $BD$ en $E$ y $F$ . Si $|AB|=10$ , calcule $|AE|\cdot |AF|$ .

2 Cada uno de los enteros del $1$ al $20$ se coloca en los puntos de la figura de abajo. Dos puntos son adyacentes si la figura de abajo contiene un segmento de recta que los conecta. Demuestre que, comoquiera que se dispongan los números, es posible encontrar un par adyacente tal que la diferencia entre los números escritos en ellos sea mayor que $3$ . [asy] real u=0.25cm; for(int i = 0; i < 4; ++i) { real v = u*(i+1); pair P1 = dir(90+0*72)*(0,v); pair P2 = dir(90+1*72)*(0,v); pair P3 = dir(90+2*72)*(0,v); pair P4 = dir(90+3*72)*(0,v); pair P5 = dir(90+4*72)*(0,v); dot(P1);dot(P2); dot(P3);dot(P4);dot(P5); path p = P1--P2--P3--P4--P5--cycle; draw(p); } [/asy]

3 Sea $d(n)$ el mayor entero impar que divide a $n$ . Calcule la suma $d(1)+d(2)+d(3)+\dots+d(2^{99})$ .