56 Para cualquier entero $r \geq 1$ , determine el menor entero $h(r) \geq 1$ tal que para cualquier partición del conjunto $\{1, 2, \cdots, h(r)\}$ en $r$ clases, existen enteros $a \geq 0 \ ; 1 \leq x \leq y$ , tales que $a + x, a + y, a + x + y$ pertenecen a la misma clase. Propuesto por Rumania Amir

57 Las bisectrices de los ángulos $B,C$ de un triángulo $ABC$ intersecan a los lados opuestos en $B', C'$ respectivamente. Demuestre que la recta $B'C'$ interseca al círculo inscrito en dos puntos distintos. Amir

58 Halle, con argumentación, las soluciones enteras de la ecuación \[3z^2 = 2x^3 + 385x^2 + 256x - 58195.\] Amir

59 Se sabe que $a_{11}, a_{22}$ son números reales, que $x_1, x_2, a_{12}, b_1, b_2$ son números complejos, y que $a_{11}a_{22}=a_{12}\overline{a_{12}}$ (donde $\overline{a_{12}}$ es el conjugado de $a_{12}$ ) . Consideremos el siguiente sistema en $x_1, x_2$ : \[\overline{x_1}(a_{11}x_1 + a_{12}x_2) = b_1,\] \[\overline{x_2}(a_{12}x_1 + a_{22}x_2) = b_2.\] (a) Dé una condición para que el sistema sea consistente. (b) Dé una condición para que $\arg x_1 - \arg x_2 = 98^{\circ}.$ Amir

60 Se sabe que $x = -2272$ , $y = 10^3+10^2c+10b+a$ , y $z = 1$ satisfacen la ecuación $ax + by + cz = 1$ , donde $a, b, c$ son enteros positivos con $a < b < c$ . Halle $y.$ Amir

61 Sea $PQ$ un segmento de longitud constante $\lambda$ tomado sobre el lado $BC$ de un triángulo $ABC$ con el orden $B,P,Q,C$ , y sean las rectas trazadas por $P$ y $Q$ paralelas a los lados laterales, que cortan a $AC$ en $P_1$ y $Q_1$ y a $AB$ en $P_2$ y $Q_2$ respectivamente. Demuestre que la suma de las áreas de los trapecios $PQQ_1P_1$ y $PQQ_2P_2$ es independiente de la posición de $PQ$ sobre $BC.$ Amir

62 Sean $l, l'$ dos rectas en el espacio de $3$ dimensiones y sean $A,B,C$ tres puntos tomados sobre $l$ con $B$ como punto medio del segmento $AC$ . Si $a, b, c$ son las distancias de $A,B,C$ a $l'$ , respectivamente, demuestre que $b \leq \sqrt{ \frac{a^2+c^2}{2}}$ , con igualdad si $l, l'$ son paralelas. Amir

1 Sea $L$ el punto medio del arco menor $AC$ de la circunferencia circunscrita de un triángulo acutángulo $ABC$ . Un punto $P$ es la proyección de $B$ sobre la tangente a la circunferencia circunscrita en $L$ . Demuestre que $P$ , $L$ y los puntos medios de los lados $AB$ , $BC$ son concíclicos.

63 Calcule $\sum_{k=0}^{2n} (-1)^k a_k^2$ donde los $a_k$ son los coeficientes del desarrollo \[(1- \sqrt 2 x +x^2)^n =\sum_{k=0}^{2n} a_k x^k.\] Amir

64 Sea $r > 1$ un número real, y sea $n$ el mayor entero menor que $r$ . Considere un número real arbitrario $x$ con $0 \leq x \leq \frac{n}{r-1}.$ Por desarrollo en base $r$ de $x$ entendemos una representación de $x$ de la forma \[x=\frac{a_1}{r} + \frac{a_2}{r^2}+\frac{a_3}{r^3}+\cdots\] donde los $a_i$ son enteros con $0 \leq a_i < r.$ Puede suponerse sin demostración que todo número $x$ con $0 \leq x \leq \frac{n}{r-1}$ tiene al menos un desarrollo en base $r$ . Demuestre que si $r$ no es un entero, entonces existe un número $p$ , $0 \leq p \leq \frac{n}{r-1}$ , que tiene infinitos desarrollos en base $r$ distintos . Amir