G3 Trazamos dos rectas $(\ell_1) , (\ell_2)$ que pasan por el ortocentro $H$ del triángulo $ABC$ de modo que cada una divide al triángulo en dos figuras de igual área y igual perímetro. Halla los ángulos del triángulo.

G4 Se da un triángulo $ABC$ con baricentro $G$ y circuncentro $O$. Las mediatrices de $GA, GB$ se cortan en $C_1$, las de $GB, GC$ se cortan en $A_1$, y las de $GC, GA$ se cortan en $B_1$. Demuestra que $O$ es el baricentro del triángulo $A_1B_1C_1$.

G5 El círculo $k_a$ toca las prolongaciones de los lados $AB$ y $BC$, así como el círculo circunscrito del triángulo $ABC$ (por fuera). Denotamos la intersección de $k_a$ con el círculo circunscrito del triángulo $ABC$ por $A'$. Análogamente, definimos los puntos $B'$ y $C'$. Demuestra que las rectas $AA'$, $BB'$ y $CC'$ se intersecan en un punto.

G6 En el triángulo $ABC$, la mediana $AM$ ( $M\in BC$ ) y las alturas $BB_1$ y $CC_1$ ( $B_1 \in AC, C_1 \in AB$ ). La recta $d$ es perpendicular a $AM$ en el punto $A$ e interseca a las rectas $BB_1$ y $CC_1$ en los puntos $E$ y $F$, respectivamente. Denotemos con $\omega$ la circunferencia que pasa por los puntos $E$, $M$ y $F$, y con $\omega_1$ y $\omega_2$ las circunferencias tangentes al segmento $EF$ y a $\omega$ en el arco $EF$ que no contiene al punto $M$. Si los puntos $P$ y $Q$ son los puntos de intersección de $\omega_1$ y $\omega_2$, demuestra que los puntos $P$, $Q$ y $M$ son colineales.

G7 En el triángulo no isósceles $ABC$, considera los puntos $X$ en $[AB]$ e $Y$ en $[AC]$ tales que $[BX]=[CY]$. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los segmentos $[BC]$ y $[XY]$, respectivamente, y supón que las rectas $XY$ y $BC$ se cortan en $K$. Demuestra que la circunferencia circunscrita del triángulo $KMN$ contiene un punto, distinto de $M$, que no depende de la posición de los puntos $X$ e $Y$.

G8 Sea $P$ un punto en el interior de un triángulo $ABC$ y sean $d_a,d_b,d_c$ sus distancias a $BC,CA,AB$ respectivamente. Demuestra que máx $(AP, BP, CP) \ge \sqrt{d_a^2+d_b^2+d_c^2}$

N1 Demuestra que para todo número natural $a$ , existe un número natural que tiene al número $a$ (la secuencia de dígitos que constituyen a $a$ ) en su inicio, y que disminuye $a$ veces cuando se mueve $a$ desde su inicio hasta su final (cualquier cero que aparezca al inicio del número obtenido de esta manera debe eliminarse). Ejemplo $a=4$ , entonces $\underline{4}10256= 4 \cdot 10256\underline{4}$ $a=46$ , entonces $\underline{46}0100021743857360295716= 46 \cdot 100021743857360295716\underline{46}$

4. Considera una cuadrícula de $n \times n$ que consta de $n^2$ celdas unitarias, donde $n \geq 3$ es un entero positivo impar dado. Primero, Dionisio colorea cada celda de rojo o azul. Se sabe que una rana puede saltar de una celda a otra si y solo si estas celdas tienen el mismo color y comparten al menos un vértice. Luego, Xantias observa la coloración y coloca $k$ ranas en las celdas de modo que cada una de las $n^2$ celdas pueda ser alcanzada por una rana en un número finito (posiblemente cero) de saltos. Encuentra el menor valor de $k$ para el cual esto siempre es posible sin importar la coloración elegida por Dionisio. Propuesto por Tommy Walker Mackay, Reino Unido

N2 Sea $ c$ un entero positivo. La sucesión $ a_1,a_2,\ldots$ se define como sigue: $ a_1=c$ , $ a_{n+1}=a_n^2+a_n+c^3$ para todo entero positivo $ n$ . Encuentra todos los $ c$ tales que existen enteros $ k\ge1$ y $ m\ge2$ de modo que $ a_k^2+c^3$ sea la $ m$ -ésima potencia de algún entero.

N3 La sucesión $(\chi_n) _{n=1}^{\infty}$ se define de la siguiente manera \begin{align*} \chi_{n+1}=\chi_n + \chi _{\lceil \frac{n}{2} \rceil} ~, \chi_1 =1 \end{align*} Demuestra que ninguno de los términos de esta sucesión es divisible por $4$