4 Una tabla rectangular tiene 9 filas y 2004 columnas. En las 9 * 2004 casillas de la tabla colocamos los números del 1 al 2004, cada uno 9 veces. Y hacemos esto de tal manera que dos números que estén en exactamente la misma columna difieran a lo sumo en 3. Halle la menor suma posible de todos los números de la primera fila.

1 Sea $ M = \{ x_1..., x_{30}\}$ un conjunto formado por 30 números positivos distintos, y sea $ A_n,$ $ 1 \leq n \leq 30,$ la suma de todos los productos posibles de $ n$ elementos cada uno del conjunto $ M.$ Demuestre que si $ A_{15} > A_{10},$ entonces $ A_1 > 1.$

2 Demuestre que no existe un conjunto finito que contenga más de $ 2N,$ con $ N > 3,$ vectores del plano no colineales dos a dos, y al que se apliquen las dos propiedades siguientes: 1) para $ N$ vectores arbitrarios de este conjunto siempre hay $ N-1$ vectores adicionales de este conjunto tales que la suma de estos $ 2N-1$ vectores es igual al vector cero; 2) para $ N$ vectores arbitrarios de este conjunto siempre hay $ N$ vectores adicionales de este conjunto tales que la suma de estos $ 2N$ vectores es igual al vector cero.

3 En un país hay varias ciudades; algunas de estas ciudades están conectadas por líneas aéreas, de modo que una línea aérea conecta exactamente dos ciudades en cada caso y ambas direcciones de vuelo son posibles. Cada línea aérea pertenece a una de $k$ compañías aéreas; dos líneas aéreas de la misma compañía tienen siempre un punto final común. Demuestre que se pueden dividir todas las ciudades en $k+2$ grupos de tal manera que dos ciudades del mismo grupo nunca estén conectadas entre sí por una línea aérea.

Se dan $2018$ puntos en el plano. Demuestra que es posible cubrirlos con círculos tales que: $i)$ la suma de las longitudes de todos los diámetros de todos los círculos no sea mayor que $2018$ $ii)$ la distancia entre cualesquiera dos círculos sea mayor que $1$

4 Un paralelepípedo es cortado por un plano a lo largo de un hexágono. Supongamos que este hexágono puede ser cubierto por cierto rectángulo $ \pi$ (lo que significa que se puede colocar el rectángulo $ \pi$ sobre el plano del paralelepípedo de modo que el hexágono quede completamente cubierto por el rectángulo). Demuestre que también se puede cubrir una de las caras del paralelepípedo con el rectángulo $ \pi.$

1 Suponga que $M$ es un conjunto de $2003$ números tal que, para cualesquiera $a, b \in M$ distintos, el número $a^2 +b\sqrt 2$ es racional. Demuestre que $a\sqrt 2$ es racional para todo $a \in M.$ Amir

3 Sobre una recta se dan $2k -1$ segmentos blancos y $2k -1$ negros. Suponga que cada segmento blanco corta al menos $k$ segmentos negros, y cada segmento negro corta al menos $k$ blancos. Demuestre que hay un segmento negro que corta a todos los blancos y un segmento blanco que corta a todos los negros. Amir

4 Una sucesión $(a_n)$ se define de la siguiente manera: $a_1 = p$ es un número primo con exactamente $300$ cifras no nulas, y para cada $n \geq 1, a_{n+1}$ es el período decimal de $1/a_n$ multiplicado por $2$ . Determine $a_{2003}.$ Amir

1 Hay $N$ ciudades en un país. Cualesquiera dos de ellas están conectadas por una carretera o por una vía aérea. Un turista quiere visitar cada ciudad exactamente una vez y volver a la ciudad en la que comenzó el viaje. Demuestre que puede elegir una ciudad de partida y hacer un recorrido cambiando de medio de transporte a lo sumo una vez. Amir