2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC$ . Sea $M$ el punto medio del lado $BC$ . Sobre el lado $AB$ , considere un punto $D$ tal que, si el segmento $CD$ interseca la mediana $AM$ en el punto $E$ , entonces $AD=DE$ . Demuestre que $AB=CE$ .

3 Sea $A=\overline{abcd}$ un entero positivo de cuatro cifras con cifras $a, b, c, d$ , tales que $a\ge7$ y $a>b>c>d>0$ . Considere el entero positivo $B=\overline{dcba}$ , que se obtiene del número $A$ invirtiendo el orden de sus cifras. Dado que el número $A+B$ tiene todas sus cifras impares, determine todos los valores posibles del número $A$ .

4 Resuelva en N $1/x+2/y-4/z=1$

1 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo (con $AB<AC<BC$ ) inscrito en la circunferencia $c(O,R)$ (con centro $O$ y radio $R$ ) . La circunferencia $c_1(A,AB)$ (con centro $A$ y radio $AB$ ) interseca el lado $BC$ en el punto $D$ y la circunferencia circunscrita $c(O,R)$ en el punto $E$ . Demuestre que el lado $AC$ biseca el ángulo $\angle DAE$ .

2 Para los distintos valores del parámetro $a \in R$ , resuelva la ecuación $ ||x - 4| - 2x + 8| = ax + 4$

4 En un plano $\Pi$ se da una recta $\ell$ y sobre la recta $\ell$ se dan dos puntos diferentes $A_1, A_2$ . Consideramos en el plano $\Pi$ , fuera de la recta $\ell$ , dos puntos diferentes $A_3, A_4$ . Examine si es posible colocar los puntos $A_3$ y $A_4$ en posiciones tales que los cuatro puntos $A_1, A_2, A_3, A_4$ formen el número máximo posible de triángulos isósceles, en los siguientes casos: (a) cuando los puntos $A_3, A_4$ pertenecen a semiplanos diferentes con respecto a $\ell$ ; (b) cuando los puntos $A_3, A_4$ pertenecen al mismo semiplano con respecto a $\ell$ . Dé todos los casos posibles y explique cómo es posible construir en cada caso los puntos $A_3$ y $A_4$ .

1 Sea $ABC$ un triángulo con $\angle BAC=120^o$ , en el cual la mediana $AD$ es perpendicular al lado $AB$ e interseca la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en el punto $E$ . Las rectas $BA$ y $EC$ se intersecan en $Z$ . Demuestre que a) $ZD \perp BE$ b) $ZD=BC$

2 Consideramos el conjunto de enteros positivos de cuatro cifras $x =\overline{abcd}$ con cifras diferentes de cero y distintas entre sí. Consideramos también los enteros $y = \overline{dcba}$ y suponemos que $x > y$ . Determine el mayor y el menor valor de la diferencia $x-y$ , así como los enteros de cuatro cifras $x,y$ correspondientes para los cuales se obtienen estos valores.

3 Si el número $3n +1$ , donde n es entero, es múltiplo de $7$ , determine los posibles restos de las siguientes divisiones: (a) de $n$ entre el divisor $7$ , (b) de $n^{m}$ entre el divisor $7$ , para todos los valores del entero positivo $m, m >1$ .

4 Si $x, y, z$ son números reales positivos con suma $12$ , demuestre que $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+ 3 \ge \sqrt{x} +\sqrt{y }+\sqrt{z}$ . ¿Cuándo se cumple la igualdad?