1 ¿Cuántos de los enteros entre 1 y 1000, inclusive, pueden expresarse como la diferencia de los cuadrados de dos enteros no negativos?

Las nueve líneas horizontales y nueve verticales de un tablero de ajedrez de $8\times8$ forman $r$ rectángulos, de los cuales $s$ son cuadrados. El número $s/r$ se puede escribir en la forma $m/n,$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos. Encuentra $m+n.$

3 Sarah quería multiplicar un número de dos dígitos y un número de tres dígitos, pero omitió el signo de multiplicación y simplemente colocó el número de dos dígitos a la izquierda del número de tres dígitos, formando así un número de cinco dígitos. Este número es exactamente nueve veces el producto que Sarah debería haber obtenido. ¿Cuál es la suma del número de dos dígitos y el número de tres dígitos?

4 círculos de radios 5, 5, 8 y $m/n$ son mutuamente tangentes externamente, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos. Encuentra $m+n$.

5 El número $r$ puede expresarse como un decimal de cuatro lugares $0.abcd,$ donde $a, b, c$ y $d$ representan dígitos, cualquiera de los cuales podría ser cero. Se desea aproximar $r$ mediante una fracción cuyo numerador sea 1 o 2 y cuyo denominador sea un entero. La fracción más cercana a $r$ entre tales fracciones es $\frac{2}{7}.$ ¿Cuál es el número de valores posibles para $r$?

6 El punto $B$ está en el exterior del polígono regular de $n$ lados $A_1A_2\cdots A_n,$ y $A_1A_2B$ es un triángulo equilátero. ¿Cuál es el mayor valor de $n$ para el cual $A_n, A_1,$ y $B$ son vértices consecutivos de un polígono regular?

2 $ n>2$ es un entero tal que $ n^2$ puede representarse como una diferencia de cubos de 2 enteros positivos consecutivos. Demuestre que $ n$ es una suma de 2 cuadrados de enteros positivos, y que tal $ n$ existe.

7 Un auto viaja hacia el este a $\frac 23$ milla por minuto por una carretera larga y recta. Al mismo tiempo, una tormenta circular, cuyo radio es de 51 millas, se mueve hacia el sureste a $\frac 12\sqrt{2}$ milla por minuto. En el tiempo $t=0,$ el centro de la tormenta está a 110 millas directamente al norte del auto. En el tiempo $t=t_1$ minutos, el auto entra al círculo de la tormenta, y en el tiempo $t=t_2$ minutos, el auto sale del círculo de la tormenta. Encuentra $\frac 12(t_1+t_2).$

¿Cuántas matrices diferentes de $4\times 4$ cuyas entradas son todas 1's y -1's tienen la propiedad de que la suma de las entradas en cada fila es 0 y la suma de las entradas en cada columna es 0?

Dado un número real no negativo $x,$ sea $\langle x\rangle$ la parte fraccionaria de $x;$ es decir, $\langle x\rangle=x-\lfloor x\rfloor,$ donde $\lfloor x\rfloor$ denota el mayor entero menor o igual que $x.$ Supón que $a$ es positivo, $\langle a^{-1}\rangle=\langle a^2\rangle,$ y $2<a^2<3.$ Encuentra el valor de $a^{12}-144a^{-1}.$