3 Las bisectrices exteriores de los ángulos del cuadrilátero convexo $ABCD$ se cortan entre sí en $E,F,G$ y $H$ tales que $A\in EH, \ B\in EF, \ C\in FG, \ D\in GH$ . Sabemos que las perpendiculares desde $E$ a $AB$ , desde $F$ a $BC$ y desde $G$ a $CD$ son concurrentes. Demuestre que $ABCD$ es cíclico.

4 Determine todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que satisfacen la siguiente relación para todos los números reales $x$ e $y$ \[f(xf(y)-f(x))=2f(x)+xy.\]

1 Halle todos los pares $(m,n)$ de enteros positivos impares tales que $n \mid 3m+1$ y $m \mid n^2+3$ .

2 Considere el conjunto $M=\{1,2,3,...,2020\}.$ Halle el entero positivo más pequeño $k$ tal que para cualquier subconjunto $A$ de $M$ con $k$ elementos, existan $3$ números distintos $a,b,c$ de $M$ tales que $a+b, b+c$ y $c+a$ estén todos en $A.$

3 Sea $\mathcal{P}$ un cuadrilátero convexo. Considere un punto $X$ dentro de $\mathcal{P}.$ Sean $M,N,P,Q$ las proyecciones de $X$ sobre los lados de $\mathcal{P}.$ Sabemos que $M,N,P,Q$ están todos sobre una circunferencia de centro $L.$ Sean $J$ y $K$ los puntos medios de las diagonales de $\mathcal{P}.$ Demuestre que $J,K$ y $L$ están sobre una recta.

1 Considere un triángulo fijo $ABC$ tal que $AB=AC.$ Sea $M$ el punto medio de $BC.$ Sea $P$ un punto variable dentro de $\triangle ABC,$ tal que $\angle PBC=\angle PCA.$ Demuestre que la suma de las medidas de $\angle BPM$ y $\angle APC$ es constante.

2 Sea $N\geq 4$ un entero positivo fijo. Dos jugadores, $A$ y $B$ , están formando un conjunto ordenado $\{x_1,x_2,...\},$ agregando elementos alternadamente. $A$ elige $x_1$ como $1$ o $-1,$ luego $B$ elige $x_2$ como $2$ o $-2,$ luego $A$ elige $x_3$ como $3$ o $-3,$ y así sucesivamente. (en el $k^{th}$ paso, el número elegido debe ser siempre $k$ o $-k$ ) El ganador es el primer jugador que hace que la suma de la sucesión sea un múltiplo de $N.$ Dependiendo de $N,$ determine, con demostración, qué jugador tiene una estrategia ganadora.

3 Sea $\alpha$ un número real en el intervalo $(0,1).$ Demuestre que existe una sucesión $(\varepsilon_n)_{n\geq 1}$ donde cada término es $0$ o $1$ tal que la sucesión $(s_n)_{n\geq 1}$ \[s_n=\frac{\varepsilon_1}{n(n+1)}+\frac{\varepsilon_2}{(n+1)(n+2)}+...+\frac{\varepsilon_n}{(2n-1)2n}\] verifica la desigualdad \[0\leq \alpha-2ns_n\leq\frac{2}{n+1}\] para cualquier $n\geq 2.$

1 Sean $k\geq 2$ , $n_1,n_2,\cdots ,n_k\in \mathbb{N}_+$ , que satisfacen $n_2|2^{n_1}-1,n_3|2^{n_2}-1,\cdots ,n_k|2^{n_{k-1}}-1,n_1|2^{n_k}-1$ . Demuestre: $n_ 1=n_ 2=\cdots=n_k=1$ .

2 Las alturas trazadas desde los vértices $ A,B,C$ de un triángulo acutángulo $ ABC$ cortan a los lados opuestos en $ D,E, F,$ respectivamente. La recta que pasa por $ D$ paralela a $ EF$ corta a las rectas $ AC$ y $ AB$ en $ Q$ y $ R,$ respectivamente. La recta $ EF$ corta a $ BC$ en $ P.$ Demuestre que la circunferencia circunscrita del triángulo $ PQR$ pasa por el punto medio de $ BC.$