3 Los vértices de un $4$ -ágono regular, un $6$ -ágono y un $12$ -ágono pueden reunirse en un punto para formar un ángulo completo de $360^o$ (véase la figura). https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/b/1/e9245179b7e0f5acb98b226bdc6db87fd72ad5.png Determine todas las ternas $a, b, c \in N$ con $a < b < c$ para las cuales los ángulos de un $a$ -ágono regular, un $b$ -ágono y un $c$ -ágono juntos también forman $360^o$ .

4 Hay $12$ matemáticos que viven en una aldea, cada uno de los cuales pertenece al clan $\sqrt2$ o al clan $\pi$ . Además, el cumpleaños de cada matemático cae en un mes diferente y cada matemático tiene un número impar de amigos entre los matemáticos. Acordamos que si el matemático $A$ es amigo del matemático $B$ , entonces $B$ también es amigo de $A$ . En su cumpleaños, cada matemático observa a qué clan pertenece la mayoría de sus amigos y decide unirse a ese clan hasta su próximo cumpleaños. Demuestre que los matemáticos dejan de cambiar de clan a partir de cierto punto.

1 Los puntos $A, B, C, D$ se encuentran en ese orden sobre un círculo. Los segmentos $AC$ y $BD$ se intersecan en el punto $P$ . El punto $B'$ se encuentra sobre la recta $AB$ de modo que $A$ está entre $B$ y $B'$ y $|AB'| = |DP |$ . El punto $C'$ se encuentra sobre la recta $CD$ de modo que $D$ está entre $C$ y $C'$ y $|DC' | = |AP|$ . Demuestre que $\angle B'PC' = \angle ABD'$ . https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/2/2/7ec65246ff5ecfebc25ca13f3709d1791ceb6c.png

2 Un dominó es un rectángulo cuya longitud es el doble de su ancho. Cualquier cuadrado puede dividirse en siete dominós, por ejemplo como se muestra en la figura siguiente. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/7/6/c055d8d2f6b7c24d38ded7305446721e193203.png a) Demuestre que se puede dividir un cuadrado en $n$ dominós para todo $n \ge 5$ . b) Demuestre que no se puede dividir un cuadrado en tres o cuatro dominós.

3 Arne tiene $2n + 1$ boletos. Cada tarjeta tiene un número escrito. Una tarjeta tiene el número $0$ . Los números naturales $1, 2, . . . , n$ aparecen exactamente en dos tarjetas cada uno. Demuestre que Arne puede ordenar las tarjetas en una fila de modo que haya exactamente $m$ tarjetas entre las dos tarjetas con el número $m$ , para todo $m \in \{1, 2, . . . , n\}$ .

1 Johnny vio una vez ciruelas colgando, grandes como huevos y numeradas según los primeros números naturales. Él es el primero en recoger la ciruela con el número $2$ . Después de eso, Jantje recoge cada vez la ciruela con el menor número $n$ que satisface las dos condiciones siguientes: $\bullet$ $n$ es mayor que todos los números de las ciruelas ya recogidas, $\bullet$ $n$ no es el producto de dos números iguales o diferentes de las ciruelas ya recogidas. Llamamos números ciruela a los números de las ciruelas recogidas. ¿Es $100 000$ un número ciruela? Justifique su respuesta.

2 Catherine coloca cinco discos de madera idénticos sobre varillas situadas en los vértices de un pentágono regular. Luego deja caer cinco fichas congruentes más pequeñas sobre estas varillas. Después estira una cinta alrededor de los discos grandes y una segunda cinta alrededor de los discos pequeños. La primera cinta tiene una longitud de $56$ centímetros y la segunda de $50$ centímetros. Catherine observa su construcción desde arriba y ve un área delimitada por las dos cintas. ¿Cuál es el área de esa región? https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/1/0/68e80530742f1f0775aff5a265e0c9928fa66c.png

3 Hay $19$ bolas en una caja, numeradas del $1$ al $19$ . Cuando sacamos de esa caja, sin mirar, cinco bolas diferentes, ¿qué número tiene la mayor probabilidad de ser la diferencia entre el número más alto y el más bajo extraídos? Justifique su respuesta.

4 (a) Demuestre que para todo $x \in R$ se cumple que $$-1 \le \frac{x}{x^2 + x + 1} \le \frac 13$$ (b) Determine todas las funciones $f : R \to R$ para las cuales, para todo $x \in R$ , se cumple que $$f \left( \frac{x}{x^2 + x + 1} \right) = \frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1}$$

1 Sea $x$ un ángulo entre $0^o$ y $90^o$ tal que $$\frac{\sin^4 x}{9}+\frac{\cos^4 x}{16 }=\frac{1}{25} .$$ Entonces, ¿cuál es $\tan x$ ?