A4 Sea $n>2$ un entero positivo. Considera todos los números $S$ de la forma \begin{align*} S= a_1 a_2 + a_2 a_3 + \ldots + a_{k-1} a_k \end{align*} con $k>1$ y $a_i$ enteros positivos tales que $a_1+a_2+ \ldots + a_k=n$. Determina todos los números que se pueden representar de esta forma.

C4 En las celdas de una tabla de $2010 \times 2010$ se escriben números enteros. Sumar $1$ a todos los números de una fila o de una columna se llama un movimiento. Decimos que una tabla está en equilibrio si se puede obtener, tras un número finito de movimientos, una tabla en la que todos los números sean iguales. Encuentra el mayor entero positivo $n$ para el cual existe una tabla en equilibrio que contenga los números $2^0, 2^1, \ldots , 2^n$. Para este $n$, encuentra el número máximo que puede estar contenido en una tabla así.

C3 Una franja de ancho $w$ es el conjunto de todos los puntos que están sobre, o entre, dos rectas paralelas a distancia $w$ entre sí. Sea $S$ un conjunto de $n$ ( $n \ge 3$ ) puntos en el plano tal que cualesquiera tres puntos distintos de $S$ pueden ser cubiertos por una franja de ancho $1$ . Demuestra que $S$ puede ser cubierto por una franja de ancho $2$ .

4 Sean $a, b$ y $c$ números reales positivos. Demuestra que $\frac{a+b}{c^2}+ \frac{c+a}{b^2}+ \frac{b+c}{a^2}\ge \frac{9}{a+b+c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

5 $ABC$ es un triángulo cualquiera. La tangente en $C$ a la circunferencia circunscrita ( $O$ ) de $ABC$ corta a $AB$ en $M$ . La recta perpendicular a $OM$ en $M$ interseca a $BC$ en $P$ y a $AC$ en $Q$ . Demuestra que $MP=MQ$ .

6 Daniel elige un entero positivo $n$ y se lo dice a Ana. Con esta información, Ana elige un entero positivo $k$ y se lo dice a Daniel. Daniel dibuja $n$ circunferencias en un papel y elige $k$ puntos distintos con la condición de que cada uno de ellos pertenezca a una de las circunferencias que dibujó. Luego borra las circunferencias, y solo quedan visibles los $k$ puntos marcados. A partir de estos puntos, Ana debe reconstruir al menos una de las circunferencias que dibujó Daniel. Determina cuál es el menor valor de $k$ que permite a Ana lograr su objetivo sin importar cómo haya elegido Daniel las $n$ circunferencias y los $k$ puntos.

Tenemos 98 tarjetas, cada una etiquetada con un número distinto del $1$ al $98$. Queremos ordenar las 98 tarjetas en una secuencia $(a_1, a_2, \dots, a_{98})$ tal que para cada par de números consecutivos $X$ y $Y$ en la secuencia, $|X - Y| > 48$. Determina cuántas secuencias de este tipo existen y describe su estructura.

2 Un conjunto de bolas contiene $ n$ bolas etiquetadas con los números $ 1,2,3,\ldots,n.$ Se nos dan $ k > 1$ de estos conjuntos. Queremos colorear las bolas con dos colores, negro y blanco, de tal manera que (a) las bolas etiquetadas con el mismo número tengan el mismo color, (b) cualquier subconjunto de $ k+1$ bolas con etiquetas (no necesariamente distintas) $ a_{1},a_{2},\ldots,a_{k+1}$ que satisfagan la condición $ a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{k}= a_{k+1}$ , contenga al menos una bola de cada color. Encuentra, dependiendo de $ k$, el mayor número posible $ n$ que admita tal coloración. Yimin

A3 Sean $a,b,c,d$ números reales positivos. Demuestra que \[(\frac{a}{a+b})^{5}+(\frac{b}{b+c})^{5}+(\frac{c}{c+d})^{5}+(\frac{d}{d+a})^{5}\ge \frac{1}{8}\]

A2 Sea la sucesión $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$, donde $\mathbb{N}$ denota el conjunto de los números naturales, dada con $a_1=2$ y $a_{n+1}$ $=$ $a_n^2$ $-$ $a_n+1$. Encuentra el número real mínimo $L$, tal que para todo $k$ $\in$ $\mathbb{N}$ se cumpla \begin{align*} \sum_{i=1}^k \frac{1}{a_i} < L \end{align*}