1 Halle todas las funciones $f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que para todo $x,y \in \mathbb{R}$ , \[xf(x+f(y))=(y-x)f(f(x)).\] Propuesto por Nikola Velov, Macedonia

2 En el triángulo $ABC$ , el incírculo toca a los lados $BC,CA,AB$ en $D,E,F$ respectivamente. Suponga que existe un punto $X$ sobre la recta $EF$ tal que \[\angle{XBC} = \angle{XCB} = 45^{\circ}.\] Sea $M$ el punto medio del arco $BC$ del circuncírculo de $ABC$ que no contiene a $A$ . Demuestre que la recta $MD$ pasa por $E$ o por $F$ . Reino Unido

3 Para cada entero positivo $n$ , denótese por $\omega(n)$ el número de divisores primos distintos de $n$ (por ejemplo, $\omega(1)=0$ y $\omega(12)=2$ ) . Halle todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes enteros tales que, siempre que $n$ sea un entero positivo que satisfaga $\omega(n)>2023^{2023}$ , entonces $P(n)$ sea también un entero positivo con \[\omega(n)\ge\omega(P(n)).\] Grecia (Minos Margaritis - Iasonas Prodromidis)

4 Halle el mayor entero $k\leq 2023$ para el cual se cumple lo siguiente: siempre que Alicia coloree de rojo exactamente $k$ números del conjunto $\{1,2,\dots, 2023\}$ , Bob puede colorear de azul algunos de los números restantes sin colorear, de modo que la suma de los números rojos sea igual a la suma de los números azules. Rumania

5 En el pizarrón están escritos los $400$ enteros $1, 2, 3, \cdots , 399, 400$. Luis borra $100$ de estos números, luego Martín borra otros $100$. Martín gana si la suma de los $200$ números borrados es igual a la suma de los no borrados; de lo contrario, gana Luis. ¿Cuál de los dos tiene una estrategia ganadora? ¿Qué pasa si Luis borra $101$ números y Martín borra $99$? En cada caso, explica cómo el jugador con la estrategia ganadora puede asegurar la victoria.

1 Siete enteros positivos distintos están escritos en una hoja de papel. El resultado de la multiplicación de los siete números es el cubo de un número entero. Si el mayor de los números escritos en la hoja es $N$, determina el menor valor posible de $N$. Muestra un ejemplo para ese valor de $N$ y explica por qué $N$ no puede ser menor.

5 Sea $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{101}$ una permutación de los números $2, 3, 4, \ldots, 102$ tal que $a_{k}$ es divisible por $k$ para todo $k$ . Halle todas las permutaciones de este tipo.

2 Sea $A$ un conjunto finito de reales positivos, sea $B = \{x/y\mid x,y\in A\}$ y sea $C = \{xy\mid x,y\in A\}$. Demuestra que $|A|\cdot|B|\le|C|^2$. (Propuesto por Gerhard Woeginger, Austria)

Decimos que un número de cuatro dígitos $\overline{abcd}$, que empieza en $a$ y termina en $d$, es intercambiable si existe un entero $n > 1$ tal que $n \times \overline{abcd}$ es un número de cuatro dígitos que comienza con $d$ y termina con $a$. Por ejemplo, $1009$ es intercambiable ya que $1009 \times 9 = 9081$. Encuentra el mayor número intercambiable.

2 ¿Cuántos cuadrados se deben pintar como mínimo en un tablero de $5 \times 5$ para que en cada fila, en cada columna y en cada cuadrado de $2 \times 2$ haya al menos un cuadrado pintado?