1 Halle todos los enteros positivos $n$ tales que $4^n+6^n+9^n$ es un cuadrado. David Yang, Alex Zhu.

2 Para un racional positivo $x$ , si $x$ se escribe en la forma $p/q$ con $p, q$ enteros positivos primos relativos, defina $f(x)=p+q$ . Por ejemplo, $f(1)=2$ . a) Demuestre que si $f(x)=f(mx/n)$ para un racional $x$ y enteros positivos $m, n$ , entonces $f(x)$ divide a $|m-n|$ . b) Sea $n$ un entero positivo. Si todo $x$ que satisface $f(x)=f(2^nx)$ satisface también $f(x)=2^n-1$ , halle todos los valores posibles de $n$ . Anderson Wang.

3 Sea $s(k)$ el número de formas de expresar $k$ como la suma de potencias $2012^{th}$ distintas, donde el orden no importa. Demuestre que para todo número real $c$ existe un entero $n$ tal que $s(n)>cn$ . Alex Zhu.

4 ¿Existen enteros positivos $b,n>1$ tales que cuando $n$ se expresa en base $b$ , hay más de $n$ permutaciones distintas de sus dígitos? Por ejemplo, cuando $b=4$ y $n=18$ , $18 = 102_4$ , pero $102$ solo tiene $6$ ordenaciones de dígitos. (Se permiten ceros a la izquierda en las permutaciones.) Lewis Chen.

5 Sea $n>2$ un entero positivo y sea $p$ un primo. Suponga que los enteros no nulos están coloreados con $n$ colores. Sean $a_1,a_2,\ldots,a_{n}$ enteros tales que para todo $1\le i\le n$ , $p^i\nmid a_i$ y $p^{i-1}\mid a_i$ . En términos de $n$ , $p$ y $\{a_i\}_{i=1}^{n}$ , determine si deben existir enteros $x_1,x_2,\ldots,x_{n}$ del mismo color tales que $a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_{n}x_{n}=0$ . Ravi Jagadeesan.

7 Una cerradura de combinación diabólica tiene $n$ discos (cada uno con $c$ estados posibles), donde $n,c>1$ . Los discos están inicialmente fijados en los estados $d_1, d_2, \ldots, d_n$ , donde $0\le d_i\le c-1$ para cada $1\le i\le n$ . Desafortunadamente, los estados reales de los discos (los $d_i$ ) están ocultos, y los ajustes iniciales de los discos también son desconocidos. En un turno dado, uno puede avanzar cada disco una cantidad entera $c_i$ ( $0\le c_i\le c-1$ ) , de modo que cada disco queda ahora en un estado $d_i '\equiv d_i+c_i \pmod{c}$ con $0\le d_i ' \le c-1$ . Después de cada turno, la cerradura se abre si y solo si todos los discos están fijados en el estado cero; en caso contrario, la cerradura selecciona un entero aleatorio $k$ y desplaza cíclicamente los $d_i$ en $k$ (de modo que para todo $i$ , $d_i$ se reemplaza por $d_{i-k}$ , donde los índices se toman módulo $n$ ) . Demuestre que la cerradura siempre puede abrirse, independientemente de las elecciones de la configuración inicial y de las elecciones de $k$ (que pueden variar de turno en turno), si y solo si $n$ y $c$ son potencias del mismo primo. Bobby Shen.

8 Fije dos enteros positivos $a,k\ge2$ , y sea $f\in\mathbb{Z}[x]$ un polinomio no constante. Suponga que para todos los enteros positivos suficientemente grandes $n$ , existe un número racional $x$ que satisface $f(x)=f(a^n)^k$ . Demuestre que existe un polinomio $g\in\mathbb{Q}[x]$ tal que $f(g(x))=f(x)^k$ para todo $x$ real. Victor Wang.

9 ¿Existen enteros positivos $m,n$ tales que existen al menos $2012$ enteros positivos $x$ tales que tanto $m-x^2$ como $n-x^2$ son cuadrados perfectos? David Yang.

1 Sea $n$ un entero positivo. Hay $n$ soldados estacionados en las raíces $n$ t h de la unidad en el plano complejo. En cada ronda, usted elige un punto, y todos los soldados disparan en línea recta hacia ese punto; si su disparo golpea a otro soldado, el soldado golpeado muere y ya no dispara durante la siguiente ronda. ¿Cuál es el número mínimo de rondas, en términos de $n$ , necesario para eliminar a todos los soldados? David Yang.

2 Halle todas las funciones $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ tales que siempre que $a>b>c>d>0$ y $ad=bc$ , \[f(a+d)+f(b-c)=f(a-d)+f(b+c).\] Calvin Deng.