Prueba de Selección de Equipos de Bosnia y Herzegovina 2004 Problema 3
3 Sean $a$ , $b$ y $c$ números reales positivos tales que $abc=1$ . Demuestre la desigualdad: $\frac{ab}{a^5+b^5+ab} +\frac{bc}{b^5+c^5+bc}+\frac{ac}{c^5+a^5+ac}\leq 1$
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Prueba de Selección de Equipos de Bosnia y Herzegovina 2004 Problema 4
4 En una competencia en la que hay $16$ equipos, se juegan $55$ partidos. Demuestre que entre ellos existen $3$ equipos tales que no han jugado ningún partido entre sí.
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Prueba de Selección de Equipos de Bosnia y Herzegovina 2004 Problema 5
5 Para $0 \leq x < \frac{\pi}{2} $ demuestre la desigualdad: $a^2\tan(x)\cdot(\cos(x))^{\frac{1}{3}}+b^2\sin{x}\geq 2xab$ donde $a$ y $b$ son números reales.
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Prueba de Selección de Equipos de Bosnia y Herzegovina 2004 Problema 6
6 Se dan el triángulo $ABC$ y el paralelogramo $ASCR$ con diagonal $AC$ . Sea la recta trazada por el punto $B$ paralela a $CS$ que interseca a las rectas $AS$ y $CR$ en $M$ y $P$ , respectivamente. Sea la recta trazada por el punto $B$ paralela a $AS$ que interseca a las rectas $AR$ y $CS$ en $N$ y $Q$ , respectivamente. Demuestre que las rectas $RS$ , $MN$ y $PQ$ son concurrentes
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Prueba de Selección de Equipos de Bosnia y Herzegovina 2003 Problema 1
1 En un tablero están escritos los números: $5$ , $7$ y $9$ . En cada paso hacemos lo siguiente: para cada par $(a,b)$ , $a>b$ , de números del tablero, escribimos además el número $5a-4b$ . ¿Es posible que después de algunas iteraciones, $2003$ aparezca en el tablero ?
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Prueba de Selección de Equipos de Bosnia y Herzegovina 2003 Problema 2
2 Sobre los lados $AB$ y $BC$ del triángulo $ABC$ se construyen los cuadrados $ABB_{1}A_{1}$ y $BCC_{1}B_{2}$ . Demuestre que las rectas $AC_{1}$ , $CA_{1}$ y la altura desde $B$ al lado $AC$ son concurrentes.
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Prueba de Selección de Equipos de Bosnia y Herzegovina 2003 Problema 3
3 Demuestre que para todo entero positivo $n$ se cumple: $(n-1)^n+2n^n \leq (n+1)^{n} \leq 2(n-1)^n+2n^{n}$
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Prueba de Selección de Equipos de Bosnia y Herzegovina 2003 Problema 4
4 En el triángulo $ABC$ , $AD$ y $BE$ son alturas. Sea $L$ un punto sobre $ED$ tal que $ED$ es ortogonal a $BL$ . Si $LB^2=LD\cdot LE$ demuestre que el triángulo $ABC$ es isósceles
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Prueba de Selección de Equipos de Bosnia y Herzegovina 2003 Problema 5
5 Se da un polígono regular de $2n$ lados y centro $S$ . Considere todo cuadrilátero cuyos vértices son vértices del polígono. Sea $u$ el número de tales cuadriláteros que contienen al punto $S$ en su interior y $v$ el número de los cuadriláteros restantes. Halle $u-v$
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Prueba de Selección de Equipos de Bosnia y Herzegovina 2003 Problema 6
6 Sean $a$ , $b$ y $c$ números reales tales que $\mid a \mid >2$ y $a^2+b^2+c^2=abc+4$ . Demuestre que existen números $x$ e $y$ tales que $a=x+\frac{1}{x}$ , $b=y+\frac{1}{y}$ y $c=xy+\frac{1}{xy}$ .
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