B6 Sea $n$ un entero positivo. Demuestra que $$\sum_{k=1}^n (-1)^{\lfloor k (\sqrt{2} - 1) \rfloor} \geq 0.$$ (Como es usual, $\lfloor x \rfloor$ denota el mayor entero menor o igual que $x$.)

Determina todos los valores posibles de $A^3+B^3+C^3-3ABC$ donde $A$, $B$ y $C$ son enteros no negativos.

En el triángulo $\triangle ABC$, sea $G$ el baricentro, y sea $I$ el centro de la circunferencia inscrita. Sean $\alpha$ y $\beta$ los ángulos en los vértices $A$ y $B$, respectivamente. Supón que el segmento $IG$ es paralelo a $AB$ y que $\beta = 2\tan^{-1}(1/3)$. Encuentra $\alpha$.

A3 Dados números reales $b_0,b_1,\ldots, b_{2019}$ con $b_{2019}\neq 0$, sean $z_1,z_2,\ldots, z_{2019}$ las raíces en el plano complejo del polinomio \[ P(z) = \sum_{k=0}^{2019}b_kz^k. \] Sea $\mu = (|z_1|+ \cdots + |z_{2019}|)/2019$ el promedio de las distancias de $z_1,z_2,\ldots, z_{2019}$ al origen. Determina la constante más grande $M$ tal que $\mu\geq M$ para todas las elecciones de $b_0,b_1,\ldots, b_{2019}$ que satisfacen \[ 1\leq b_0 < b_1 < b_2 < \cdots < b_{2019} \leq 2019. \]

A4 Sea $f$ una función real continua en $\mathbb R^3$. Supón que para toda esfera $S$ de radio $1$, la integral de $f(x,y,z)$ sobre la superficie de $S$ es igual a cero. ¿Debe ser $f(x,y,z)$ idénticamente cero?

Sea $p$ un número primo impar, y sea $\mathbb{F}_p$ el cuerpo de los enteros módulo $p$. Sea $\mathbb{F}_p[x]$ el anillo de polinomios sobre $\mathbb{F}_p$, y sea $q(x) \in \mathbb{F}_p[x]$ dado por $q(x) = \sum_{k=1}^{p-1} a_k x^k$ donde $a_k = k^{(p-1)/2} \bmod p$. Encuentra el mayor entero no negativo $n$ tal que $(x-1)^n$ divide a $q(x)$ en $\mathbb{F}_p[x]$.

Sea $g$ una función con valores reales que es continua en el intervalo cerrado $[0,1]$ y dos veces diferenciable en el intervalo abierto $(0,1)$. Supón que para algún número real $r>1$, \[ \lim_{x\to 0^+}\frac{g(x)}{x^r} = 0. \] Demuestra que o bien \[ \lim_{x\to 0^+}g'(x) = 0\qquad\text{o}\qquad \limsup_{x\to 0^+}x^r|g''(x)|= \infty. \]

B1 Sea $\mathbb Z^2$ el conjunto de todos los puntos $(x,y)$ del plano con coordenadas enteras. Para cada entero $n\geq 0$, sea $P_n$ el subconjunto de $\mathbb Z^2$ formado por el punto $(0,0)$ junto con todos los puntos $(x,y)$ tales que $x^2+y^2=2^k$ para algún entero $k\leq n$. Determina, en función de $n$, el número de subconjuntos de cuatro puntos de $P_n$ cuyos elementos son los vértices de un cuadrado.

B2 Para todo $n\ge 1$, sea $a_n=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{\sin(\frac{(2k-1)\pi}{2n})}{\cos^2(\frac{(k-1)\pi}{2n})\cos^2(\frac{k\pi}{2n})}$. Determina $\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_n}{n^3}$.

B3 Sea $Q$ una matriz ortogonal real de $n$ por $n$, y sea $u\in \mathbb{R}^n$ un vector columna unitario (es decir, $u^Tu=1$). Sea $P=I-2uu^T$, donde $I$ es la matriz identidad de $n$ por $n$. Demuestra que si $1$ no es un valor propio de $Q$, entonces $1$ es un valor propio de $PQ$.