N7 Sea $c \ge 1$ un entero. Defina una sucesión de enteros positivos por $a_1 = c$ y \[a_{n+1}=a_n^3-4c\cdot a_n^2+5c^2\cdot a_n+c\] para todo $n\ge 1$ . Demuestre que para cada entero $n \ge 2$ existe un número primo $p$ que divide a $a_n$ pero a ninguno de los números $a_1 , \ldots , a_{n -1}$ . Propuesto por Austria

N8 Para cada número real $x$ , sea $||x||$ la distancia entre $x$ y el entero más cercano. Demuestre que para cada par $(a, b)$ de enteros positivos existen un primo impar $p$ y un entero positivo $k$ que satisfacen \[\displaystyle\left|\left|\frac{a}{p^k}\right|\right|+\left|\left|\frac{b}{p^k}\right|\right|+\left|\left|\frac{a+b}{p^k}\right|\right|=1.\] Propuesto por Geza Kos, Hungría

1 Sea $ H$ el ortocentro de un triángulo acutángulo $ ABC$ . El círculo $ \Gamma_{A}$ con centro en el punto medio de $ BC$ y que pasa por $ H$ interseca la línea lateral $ BC$ en los puntos $ A_{1}$ y $ A_{2}$ . De manera similar, defina los puntos $ B_{1}$ , $ B_{2}$ , $ C_{1}$ y $ C_{2}$ . Demuestre que los seis puntos $ A_{1}$ , $ A_{2}$ , $ B_{1}$ , $ B_{2}$ , $ C_{1}$ y $ C_{2}$ son concíclicos. Autor: Andrey Gavrilyuk, Rusia

2 (a) Demuestre que \[\frac {x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac {y^{2}}{\left(y - 1\right)^{2}} + \frac {z^{2}}{\left(z - 1\right)^{2}} \geq 1\] para todos los números reales $x$ , $y$ , $z$ , cada uno diferente de $1$ , y que satisfacen $xyz=1$ . (b) Demuestre que la igualdad se cumple arriba para infinitas ternas de números racionales $x$ , $y$ , $z$ , cada uno diferente de $1$ , y que satisfacen $xyz=1$ . Autor: Walther Janous, Austria

10 Considere $9$ puntos en el espacio, de los cuales no hay cuatro coplanares. Cada par de puntos está unido por una arista (es decir, un segmento de recta) y cada arista está coloreada de azul o de rojo, o bien queda sin colorear. Halle el menor valor de $\,n\,$ tal que, siempre que exactamente $\,n\,$ aristas estén coloreadas, el conjunto de aristas coloreadas contenga necesariamente un triángulo cuyas aristas sean todas del mismo color.

5 Sean $ n$ y $ k$ enteros positivos con $ k \geq n$ y $ k - n$ un número par. Sean dadas $ 2n$ lámparas etiquetadas $ 1$ , $ 2$ , ..., $ 2n$ , cada una de las cuales puede estar encendida o apagada . Inicialmente todas las lámparas están apagadas. Consideramos sucesiones de pasos: en cada paso una de las lámparas es conmutada (de encendida a apagada o de apagada a encendida). Sea $ N$ el número de tales sucesiones que consisten de $ k$ pasos y que resultan en el estado donde las lámparas $ 1$ a $ n$ están todas encendidas, y las lámparas $ n + 1$ a $ 2n$ están todas apagadas. Sea $ M$ el número de tales sucesiones que consisten de $ k$ pasos, que resultan en el estado donde las lámparas $ 1$ a $ n$ están todas encendidas, y las lámparas $ n + 1$ a $ 2n$ están todas apagadas, pero donde ninguna de las lámparas $ n + 1$ a $ 2n$ es jamás encendida. Determine $ \frac {N}{M}$ . Autor: Bruno Le Floch e Ilia Smilga, Francia

9 Las diagonales de un cuadrilátero $ABCD$ son perpendiculares: $AC\perp BD$ . Sobre sus lados se construyen exteriormente cuatro cuadrados, $ABEF,BCGH,CDIJ,DAKL$ . Los puntos de intersección de los pares de rectas $CL,DF; DF,AH; AH,BJ; BJ,CL$ se denotan por $P_1,Q_1,R_1, S_1$ , respectivamente, y los puntos de intersección de los pares de rectas $AI,BK; BK,CE;$ $ CE,DG; DG,AI$ se denotan por $P_2,Q_2,R_2, S_2$ , respectivamente. Demuestre que $P_1Q_1R_1S_1 \cong P_2Q_2R_2S_2.$ Amir

2 De los enteros positivos $m,m+1,\dots,m+n$ , solo la suma de las cifras de $m$ y la suma de las cifras de $m+n$ son divisibles por $8$ . Halle el máximo valor de $n$ .

4 Halle todas las funciones $ f: (0, \infty) \mapsto (0, \infty)$ (es decir, $ f$ es una función de los números reales positivos) tales que \[ \frac {\left( f(w) \right)^2 + \left( f(x) \right)^2}{f(y^2) + f(z^2) } = \frac {w^2 + x^2}{y^2 + z^2} \] para todos los números reales positivos $ w,x,y,z,$ que satisfacen $ wx = yz.$ Autor: Hoojo Lee, Corea del Sur

8 Dados dos números reales positivos $a$ y $b$ , suponga que una aplicación $f : \mathbb R^+ \to \mathbb R^+$ satisface la ecuación funcional \[f(f(x)) + af(x) = b(a + b)x.\] Demuestre que existe una única solución de esta ecuación. Amir