Macedonia National Olympiad 2007 Problema 2
2 En un trapecio $ABCD$ con base $AD$ , el punto $L$ es la proyección ortogonal de $C$ sobre $AB$ , y $K$ es el punto en $BC$ tal que $AK$ es perpendicular a $AD$ . Sea $O$ el circuncentro del triángulo $ACD$ . Suponga que las rectas $AK , CL$ y $DO$ tienen un punto común. Demuestre que $ABCD$ es un paralelogramo. N.T.TUAN
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Macedonia National Olympiad 2007 Problema 3
3 Los números naturales $a, b$ y $c$ son distintos dos a dos y satisfacen \[a | b+c+bc, b | c+a+ca, c | a+b+ab.\] Demuestre que al menos uno de los números $a, b, c$ no es primo. N.T.TUAN
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Macedonia National Olympiad 2007 Problema 4
4 Halle todas las funciones $ f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que satisfacen \[ f (x^{3} + y^{3}) = x^{2}f (x) + yf (y^{2}) \] para todos $ x, y \in\mathbb R.$ N.T.TUAN
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Macedonia National Olympiad 2007 Problema 5
5 Sea $n$ un número natural divisible por $4$ . Determine el número de biyecciones $f$ sobre el conjunto $\{1,2,...,n\}$ tales que $f (j )+f^{-1}(j ) = n+1$ para $j = 1,..., n.$ N.T.TUAN
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Macedonia National Olympiad 2006 Problema 1
1 Se escribe un número natural en la pizarra. En cada paso, borramos la cifra de las unidades y sumamos cuatro veces la cifra borrada al número restante, y escribimos el resultado en la pizarra en lugar del número inicial. Comenzando con el número $13^{2006}$ , ¿es posible obtener el número $2006^{13}$ repitiendo este paso un número finito de veces?
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Macedonia National Olympiad 2006 Problema 2
2 Determine todas las funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tales que para todo $x, y, z,$ \[f(x+y^2+z)=f(f(x))+yf(y)+f(z). \]
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Macedonia National Olympiad 2006 Problema 3
3 Sean $a,b,c$ números reales distintos de $0$ y $1$ , con $a+b+c=1$ . Demuestre que \[8\left(\frac{1}{2}-ab-bc-ca\right)\left(\frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(b+c)^2}+\frac{1}{(c+a)^2} \right)\ge 9 \]
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Macedonia National Olympiad 2006 Problema 4
4 Sea $M$ un punto sobre el arco menor $A_1A_n$ de la circunferencia circunscrita de un $n$ -ágono regular $A_1A_2\ldots A_n$ . $(a)$ Si $n$ es par, demuestre que $\sum_{i=1}^n(-1)^iMA_i^2=0$ . $(b)$ Si $n$ es impar, demuestre que $\sum_{i=1}^n(-1)^iMA_i=0$ .
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Macedonia National Olympiad 2006 Problema 5
5 Todos los segmentos que unen $n$ puntos (de los cuales no hay tres colineales) están coloreados con uno de $k$ colores. ¿Cuál es el menor $k$ para el cual siempre existe una línea poligonal cerrada con los vértices en algunos de los $n$ puntos, cuyos lados son todos del mismo color?
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Macedonia National Olympiad 2001 Problema 1
1 Demuestre que si $m$ y $s$ son enteros con $ms=2000^{2001}$ , entonces la ecuación $mx^2-sy^2=3$ no tiene soluciones enteras.
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