3 Demuestra que $2005^2$ se puede escribir de al menos $4$ maneras como la suma de 2 cuadrados perfectos (no nulos).

1 Halle todos los pares $(x, y)$ de números reales que satisfacen las ecuaciones \begin{align*} x^2+y&=xy^2 \\ 2x^2y+y^2&=x+y+3xy. \end{align*}

4 (a) Sea M un punto interior del cuadrilátero convexo ABCD. Demuestra que $|MA|+|MB| < |AD|+|DC|+|CB|$ . (b) Sea M un punto interior del triángulo ABC. Nota $k=\min(|MA|,|MB|,|MC|)$ . Demuestra que $k+|MA|+|MB|+|MC|<|AB|+|BC|+|CA|$ .

1 Dos rectángulos de $5\times1$ tienen 2 vértices en común como en la figura. (a) Determina el área de la superposición (b) Determina la longitud del segmento entre los otros 2 puntos de intersección, $A$ y $B$ .

¿Cómo puedes pasar del número 11 al 25 multiplicando solo por 2 o restando 3 en un número mínimo de pasos?

Dos rombos $ABCD$ y $AXYZ$ son exteriores entre sí con un vértice común $A$ . Los vértices de los rombos están etiquetados en el sentido de las agujas del reloj. Si $\angle DAX = \angle BAZ$ , demuestre que los centros de los rombos y el punto medio del segmento $BZ$ forman un triángulo isósceles.

Halle todos los enteros de 6 cifras $n$ tales que $n$ es un cuadrado perfecto y el número formado por las últimas 3 cifras de $n$ es 1 más que el número formado por las primeras 3 cifras de $n$ .

5 Halle todos los enteros positivos $k$ tales que existen enteros positivos $a, b$ que satisfacen \[a^2+4=(k^2-4)b^2.\]

Jack y Jill juegan el siguiente juego: Jack lanza 3 dados y Jill puede seleccionar algunos de ellos, posiblemente ninguno, y girar cada uno de ellos hacia la cara opuesta. Jill gana si la suma de los valores de los dados es un múltiplo de 4. ¿Puede Jill ganar siempre? (Nota: el juego se juega con dados estándar, donde la suma de los números en caras opuestas es 7.)

Sean $A,B,C,D$ los 4 cuadrados del centro de una cuadrícula de $4\times 4$ cuadrados. Estos 4 cuadrados forman el centro de la cuadrícula. Una rana puede saltar desde uno de los 4 cuadrados del centro a cualquier cuadrado de la cuadrícula que comparta un lado. Si la rana sale del centro desde un cuadrado determinado por primera vez, ese cuadrado se denomina cuadrado de salida. Halle el número de formas en que la rana puede partir de $A$ siendo $A$ el cuadrado de salida en $n$ saltos. Dé su respuesta en términos de $n$ .