A2 Para números reales positivos $x,y,z$ con $xy+yz+zx=1$ , demuestre que $$\frac{2}{xyz}+9xyz \geq 7(x+y+z)$$

7 Dado un conjunto finito no vacío $X$ con valores reales, sea $f(X) = \frac{1}{|X|} \displaystyle\sum\limits_{a\in X} a$, donde $\left\lvert X \right\rvert$ denota la cardinalidad de $X$. Para pares ordenados de conjuntos $(A,B)$ tales que $A\cup B = \{1, 2, \dots , 100\}$ y $A\cap B = \emptyset$ con $1\leq |A| \leq 98$, seleccione algún $p\in B$, y sean $A_{p} = A\cup \{p\}$ y $B_{p} = B - \{p\}.$ Sobre todos tales $(A,B)$ y $p\in B$ determine el máximo valor posible de $(f(A_{p})-f(A))(f(B_{p})-f(B)).$

3 Halle todos los pares $(a,b)$ de enteros que satisfacen: existe un entero $d \ge 2$ tal que $a^n + b^n +1$ es divisible por $d$ para todo entero positivo $n$.

8 Sea $n$ un entero positivo, y sea $S$ el conjunto de todos los enteros en $\{1,2,\dots,n\}$ que son coprimos con $n$. Sean $S_1 = S \cap \left(0, \frac n3 \right]$, $S_2 = S \cap \left( \frac n3, \frac {2n}3 \right]$, $S_3 = S \cap \left( \frac{2n}{3}, n \right]$. Si la cardinalidad de $S$ es un múltiplo de $3$, demuestre que $S_1$, $S_2$, $S_3$ tienen la misma cardinalidad.

1 Sea $A$ la región cerrada acotada por las siguientes tres rectas en el plano $xy$: $x=1, y=0$ y $y=t(2x-t)$, donde $0<t<1$. Demuestre que el área de cualquier triángulo dentro de la región $A$, con dos vértices $P(t,t^2)$ y $Q(1,0)$, no excede $\frac{1}{4}.$

2 Como se muestra en la figura siguiente, $ABCD$ es un trapecio, $AB \parallel CD$. Los lados $DA$, $AB$, $BC$ son tangentes a $\odot O_1$ y $AB$ es tangente a $\odot O_1$ en $P$. Los lados $BC$, $CD$, $DA$ son tangentes a $\odot O_2$, y $CD$ es tangente a $\odot O_2$ en $Q$. Demuestre que las rectas $AC$, $BD$, $PQ$ se cortan en el mismo punto. [asy] size(200); defaultpen(linewidth(0.8)+fontsize(10pt)); pair A=origin,B=(1,-7),C=(30,-15),D=(26,6); pair bisA=bisectorpoint(B,A,D),bisB=bisectorpoint(A,B,C),bisC=bisectorpoint(B,C,D),bisD=bisectorpoint(C,D,A); path bA=A--(bisA+100*(bisA-A)),bB=B--(bisB+100*(bisB-B)),bC=C--(bisC+100*(bisC-C)),bD=D--(bisD+100*(bisD-D)); pair O1=intersectionpoint(bA,bB),O2=intersectionpoint(bC,bD); dot(O1^^O2,linewidth(2)); pair h1=foot(O1,A,B),h2=foot(O2,C,D); real r1=abs(O1-h1),r2=abs(O2-h2); draw(circle(O1,r1)^^circle(O2,r2)); draw(A--B--C--D--cycle); draw(A--C^^B--D^^h1--h2); label("$A$",A,NW); label("$B$",B,SW); label("$C$",C,dir(350)); label("$D$",D,dir(350)); label("$P$",h1,dir(200)); label("$Q$",h2,dir(350)); label("$O_1$",O1,dir(150)); label("$O_2$",O2,dir(300)); [/asy]

3 En un grupo de $m$ chicas y $n$ chicos, cualesquiera dos personas o se conocen o no se conocen. Para cualesquiera dos chicos y cualesquiera dos chicas, hay al menos un chico y una chica entre ellos que no se conocen. Demuestre que el número de pares no ordenados de (chico, chica) que se conocen no excede $m+\frac{n(n-1)}{2}$.

4 Halle el número de polinomios $f(x)=ax^3+bx$ que satisfacen ambas condiciones siguientes: (i) $a,b\in\{1,2,\ldots,2013\}$; (ii) la diferencia entre cualesquiera dos de $f(1),f(2),\ldots,f(2013)$ no es un múltiplo de $2013$.

5 Para cualesquiera números positivos dados $a_1,a_2,\ldots,a_n$, demuestre que existen números positivos $x_1,x_2,\ldots,x_n$ que satisfacen $\sum_{i=1}^n x_i=1$, tales que para cualesquiera números positivos $y_1,y_2,\ldots,y_n$ con $\sum_{i=1}^n y_i=1$, se cumple la desigualdad $\sum_{i=1}^n \frac{a_ix_i}{x_i+y_i}\ge \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n a_i$.

6 Sea $S$ un subconjunto de $\{0,1,2,\ldots,98 \}$ con exactamente $m\geq 3$ elementos (distintos), tal que para cualesquiera $x,y\in S$ existe $z\in S$ que satisface $x+y \equiv 2z \pmod{99}$. Determine todos los valores posibles de $m$.