5 Dada una pirámide cuya base es un $n$ - gono inscribible en un círculo, sea $H$ la proyección del vértice superior de la pirámide sobre su base. Demuestre que las proyecciones de $H$ sobre las aristas laterales de la pirámide se encuentran sobre un círculo.

2 Halle todas las soluciones reales de la ecuación $$(x+1)^{2001}+(x+1)^{2000}(x-2)+(x+1)^{1999}(x-2)^2+...+(x+1)^2(x-2)^{1999}+(x+1)^{2000}(x-2)+(x+1)^{2001}=0$$

4 Sea $A_o =\{1, 2\}$ y para $n> 0, A_n$ se obtiene a partir de $A_{n-1}$ añadiendo a $A_{n-1}$ los números naturales que pueden representarse como la suma de dos números distintos de $A_{n-1}$ . Sea $a_n = |A_n |$ el número de elementos de $A_n$ . Determine $a_n$ en función de $n$ .

N6 Sea $Q$ un conjunto de números primos, no necesariamente finito. Para un entero positivo $n$ considere su factorización en primos: defina $p(n)$ como la suma de todos los exponentes y $q(n)$ como la suma de los exponentes que corresponden únicamente a los primos de $Q$ . Un entero positivo $n$ se denomina especial si $p(n)+p(n+1)$ y $q(n)+q(n+1)$ son ambos enteros pares. Demuestre que existe una constante $c>0$ independiente del conjunto $Q$ tal que para cualquier entero positivo $N>100$ , el número de enteros especiales en $[1,N]$ es al menos $cN$ . (Por ejemplo, si $Q=\{3,7\}$ , entonces $p(42)=3$ , $q(42)=2$ , $p(63)=3$ , $q(63)=3$ , $p(2022)=3$ , $q(2022)=1$ .)

1 Sean $m$ y $n$ enteros positivos mayores que $1$ . En cada cuadrado unitario de una cuadrícula de $m\times n$ hay una moneda con la cruz hacia arriba. Un movimiento consiste en los siguientes pasos: seleccionar un cuadrado de $2\times 2$ de la cuadrícula; voltear las monedas de los cuadrados unitarios superior izquierdo e inferior derecho; voltear la moneda del cuadrado unitario superior derecho o inferior izquierdo. Determine todos los pares $(m,n)$ para los cuales es posible que todas las monedas queden con la cara hacia arriba después de un número finito de movimientos. Thanasin Nampaisarn, Tailandia

1 Para números no negativos $a,b,c,d$ tales que $a+b+c+d=3$ , demuestre que \[\dfrac{ab}{3b+c+d+3}+\dfrac{bc}{3c+d+a+3}+\dfrac{cd}{3d+a+b+3}+\dfrac{da}{3a+b+c+3}\le\dfrac{1}{3}.\] ¿Cuándo se cumple la igualdad?

2 Se nos da un triángulo $ABC$ y tres rectángulos $R_1,R_2,R_3$ con lados paralelos a dos direcciones perpendiculares fijas y tales que su unión cubre los lados $AB,BC$ y $CA$ ; es decir, cada punto del perímetro de $ABC$ está contenido en o sobre al menos uno de los rectángulos. Demuestre que todos los puntos interiores al triángulo también quedan cubiertos por la unión de $R_1,R_2,R_3.$ Amir

59 En el espacio tridimensional se da un punto $O$ y un conjunto finito $A$ de segmentos cuya suma de longitudes es igual a $1988$. Demuestra que existe un plano disjunto de $A$ tal que la distancia desde él hasta $O$ no exceda $574$.

4 Sean $ a $ y $ b $ enteros positivos. Demuestra que existen enteros positivos $ x $ y $ y $ tales que \[ \binom{x+y}{2} = ax + by . \]

2 Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $\angle ABC = \angle AED = 90^\circ$ . Suponga que el punto medio de $CD$ es el circuncentro del triángulo $ABE$ . Sea $O$ el circuncentro del triángulo $ACD$ . Demuestre que la recta $AO$ pasa por el punto medio del segmento $BE$ .