62 Resuelve el sistema de ecuaciones \[ |a_1-a_2|x_2+|a_1-a_3|x_3+|a_1-a_4|x_4=1 \] \[ |a_2-a_1|x_1+|a_2-a_3|x_3+|a_2-a_4|x_4=1 \] \[ |a_3-a_1|x_1+|a_3-a_2|x_2+|a_3-a_4|x_4=1 \] \[ |a_4-a_1|x_1+|a_4-a_2|x_2+|a_4-a_3|x_3=1 \] donde $a_1, a_2, a_3, a_4$ son cuatro números reales distintos.

1 Cinco hombres y nueve mujeres se colocan igualmente espaciados alrededor de una circunferencia en orden aleatorio. La probabilidad de que cada hombre esté diametralmente opuesto a una mujer es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos coprimos. Halle $m+n.$

2 Si $\sqrt{\log_bn}=\log_b\sqrt n$ y $b\log_bn=\log_bbn,$ entonces el valor de $n$ es igual a $\frac jk,$ donde $j$ y $k$ son coprimos. ¿Cuánto vale $j+k$ ?

3 Un plano contiene $40$ rectas, de las cuales no hay $2$ paralelas. Suponga que hay $3$ puntos donde se intersecan exactamente $3$ rectas, $4$ puntos donde se intersecan exactamente $4$ rectas, $5$ puntos donde se intersecan exactamente $5$ rectas, $6$ puntos donde se intersecan exactamente $6$ rectas, y ningún punto donde se intersequen más de $6$ rectas. Halle el número de puntos donde se intersecan exactamente $2$ rectas.

4 La suma de todos los enteros positivos $m$ para los cuales $\tfrac{13!}{m}$ es un cuadrado perfecto puede escribirse como $2^{a}3^{b}5^{c}7^{d}11^{e}13^{f}$ , donde $a, b, c, d, e,$ y $f$ son enteros positivos. Halle $a+b+c+d+e+f$ .

5 Sea $P$ un punto sobre la circunferencia circunscrita del cuadrado $ABCD$ tal que $PA \cdot PC = 56$ y $PB \cdot PD = 90.$ ¿Cuál es el área del cuadrado $ABCD?$ rohan.sp

6 Alice sabe que se le mostrarán $3$ cartas rojas y $3$ cartas negras una a la vez en orden aleatorio. Antes de que se revele cada carta, Alice debe adivinar su color. Si Alice juega de manera óptima, el número esperado de cartas que adivinará correctamente es $\frac{m}{n}$ , donde $m$ y $n$ son enteros positivos coprimos. Halle $m+n$ .

7 Se dice que un entero positivo $n$ es extra-distinto si los restos de dividir $n$ entre $2, 3, 4, 5,$ y $6$ son distintos. Halle el número de enteros positivos extra-distintos menores que $1000$ .

8 El rombo $ABCD$ tiene $\angle BAD<90^{\circ}$ . Hay un punto $P$ sobre la circunferencia inscrita del rombo tal que las distancias de $P$ a las rectas $DA$ , $AB$ y $BC$ son $9$ , $5$ y $16$ , respectivamente. Halle el perímetro de $ABCD$ .

9 Halle el número de polinomios cúbicos $p(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ , donde $a$ , $b$ y $c$ son enteros en $\{-20, -19,-18, \dots , 18, 19, 20\}$ , tales que existe un único entero $m \neq 2$ con $p(m) = p(2)$ .