1 Dados un número natural $k$ y una sucesión $a_1=2+2016$ , $a_2=2^2+2016$ , $a_3=2^{2^2}+2016$ , $\dots$ , $a_n=\underbrace{2^{2^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{2}}}}}}_{n}+2016$ , demuestre que si hay al menos dos términos divisibles por $k$ en esta sucesión, entonces hay infinitos.

2 Se llevó a cabo un torneo de todos contra todos con $52$ estudiantes. ¿Cuál es el número máximo posible de partidos jugados si, después de cierto número de partidos, para cualquier estudiante elegido, los números de partidos jugados por los estudiantes contra los que ha jugado son todos distintos?

3 Sobre el lado $BC$ del triángulo $ABC$ se eligen los puntos $P$ y $Q$ tales que $\measuredangle BAP=\measuredangle ACB$ y $\measuredangle CAQ=\measuredangle ABC$ . Sobre la recta $AP$ se elige el punto $N$ tal que $AP=PN$ , y sobre la recta $AQ$ se elige el punto $M$ tal que $AQ=QM$ . Demuestre que las rectas $BN$ y $CM$ se intersecan en $L$ y que, siendo el punto medio del lado $BC$ el punto $K$ , se cumple $\measuredangle BAK=\measuredangle CAL$ .

5 Sean $p, q, r$ números primos impares distintos. Para un número natural $n$ , denote el máximo común divisor de los números $n, pqr$ por $f(n)$ , es decir, $f(n)=(n,pqr)$ . Halle el número de ternas $(a,b,c)$ tales que $1\le a,b,c\le pqr$ y todos los valores \[f (a), f (b), f (c), f (a+b), f (b+c), f (c+a), f (a+b+c)\] son distintos.

6 En el cuadrilátero convexo $ABCD$ se toma el punto $M$ tal que $\measuredangle BMC=\measuredangle AMD$ . Sobre los lados $AB$ y $CD$ se construyen exteriormente los triángulos $ABE$ y $CDF$ tales que \[\measuredangle BAE=\measuredangle DAM, \measuredangle ABE =\measuredangle CBM, \measuredangle CDF=\measuredangle ADM, \measuredangle DCF=\measuredangle BCM\] . Demuestre entonces que los puntos $M$ , $E$ y $F$ están sobre la misma recta.

2 Sea $N$ un entero positivo. Hay enteros positivos $a_{1}, a_{2},\cdots, a_{N}$ y ninguno de ellos es múltiplo de $2^{N+1}$ . Para cada entero $n\geq N+1$ , defina $a_{n}$ como sigue: si el resto de dividir $a_{k}$ entre $2^{n}$ es el menor entre los restos de dividir $a_{1},\cdots, a_{n-1}$ entre $2^{n}$ , defina $a_{n}=2a_{k}$ . Si hay varios enteros $k$ que satisfacen la condición anterior, tome el mayor. Demuestre la existencia de un entero positivo $M$ que satisface $a_{n}=a_{M}$ para todo $n\geq M$ .

3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$ . Sean $D,E$ y $F$ los pies de las alturas trazadas desde $A,B$ y $C$ , respectivamente, y sea $M$ el punto medio de $BC$ . $AD$ y $EF$ se cortan en $X$ , $AO$ y $BC$ se cortan en $Y$ , y sea $Z$ el punto medio de $XY$ . Demuestre que $A,Z,M$ son colineales.

4 Sea $n \geq 3$ un entero. Hay $n$ personas, y todos los días se celebra una reunión a la que asisten al menos $3$ personas. En cada reunión, cada asistente estrecha la mano del resto de los asistentes. Después de la reunión número $n$, cada par de las $n$ personas se ha estrechado la mano exactamente una vez. Demuestre que todas las reuniones contaron con el mismo número de asistentes.

1 En una pizarra se escriben los enteros positivos desde $1$ hasta $100$ inclusive, cada uno exactamente una vez. Una operación consiste en elegir dos números $a$ y $b$ de la pizarra y borrarlos, para luego escribir el máximo común divisor de $a^2+b^2+2$ y $a^2b^2+3$ . Después de una serie de operaciones, queda en la pizarra un único entero positivo. Demuestre que este número no puede ser un cuadrado perfecto.

2 Dado un triángulo escaleno $\triangle ABC$ , los puntos $D,E$ están en los segmentos $AB,AC$ respectivamente, tales que $CA=CD, BA=BE$ . Sea $\omega$ la circunferencia circunscrita de $\triangle ADE$ . $P$ es la reflexión de $A$ respecto de $BC$ , y $PD,PE$ cortan a $\omega$ nuevamente en $X,Y$ respectivamente. Demuestre que $BX$ y $CY$ se intersecan sobre $\omega$ .