Sea $\Delta$ el conjunto de todos los triángulos inscritos en una circunferencia dada, con ángulos cuyas medidas son números enteros de grados distintos de $45^\circ,90^\circ$ y $135^\circ$ . Para cada triángulo $T\in\Delta$ , $f(T)$ denota el triángulo cuyos vértices son los segundos puntos de intersección de las alturas de $T$ con la circunferencia. (a) Demuestre que existe un número natural $n$ tal que para todo triángulo $T\in\Delta$ , entre los triángulos $T,f(T),\ldots,f^n(T)$ (donde $f^0(T)=T$ y $f^k(T)=f(f^{k-1}(T))$ ) al menos dos son iguales. (b) Halle el menor $n$ con la propiedad de (a).

3 En el pizarrón hay $n$ enteros positivos. Solo podemos agregar enteros positivos $c=\frac{a+b}{a-b}$ , donde $a$ y $b$ son números ya escritos en el pizarrón. $a)$ Halle el valor mínimo de $n$ tal que, agregando números con el método descrito, podamos obtener cualquier entero positivo escrito en el pizarrón $b)$ Para tal $n$ , halle los números escritos en el pizarrón al principio

2 Para un entero positivo $n$ dado, halle todos los cuartetos $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ tales que $x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=4^n$

Sean $f, g$ funciones $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que para todos los reales $x,y$ , $$f(g(x) + y) = g(x + y)$$ Demuestre que o bien $f$ es la función identidad o bien $g$ es periódica. Propuesto por Pranjal Srivastava

Para $n \geq 3$ , un n-triángulo especial es un triángulo con $n$ números distintos en cada lado tal que la suma de los números de un lado es la misma para todos los lados. Por ejemplo, como $41 + 23 + 43 = 43 + 17 + 47 = 47 + 19 + 41$ , el siguiente es un $3$ - triángulo especial: $$41$$ $$23\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }19$$ $$43\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }17\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }47$$ Nótese que un $n$ - triángulo especial contiene $3(n - 1)$ números. Un conjunto infinito $A$ de enteros positivos es un conjunto especial si, para cada $n \geq 3$ , los $3(n - 1)$ números más pequeños de $A$ pueden usarse para formar un $n$ - triángulo especial. Demuestre que el conjunto de los enteros positivos que no son múltiplos de $2023$ es un conjunto especial. leannan-capall

7 Demuestre que no existe ningún primo $p$ tal que toda potencia de $p$ sea un palíndromo (un palíndromo es un número que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda; en particular, un número que termina en uno o más ceros no puede ser un palíndromo).

Sea $N \geqslant 3$ un entero. En el país de Sibyl, hay $N^2$ ciudades dispuestas como los vértices de una cuadrícula de $N \times N$ , y cada par de ciudades correspondiente a un par de vértices adyacentes de la cuadrícula está conectado por una carretera. A varios drones automatizados se les da la instrucción de recorrer un camino rectangular que comienza y termina en la misma ciudad, siguiendo las carreteras del país. Resultó que cada carretera fue recorrida al menos una vez por algún dron. Determine el número mínimo de drones que deben estar operando. Propuesto por Sutanay Bhattacharya y Anant Mudgal

1999.2 En un círculo unitario donde \(O\) es el centro, sean \(A\) y \(B\) puntos sobre el círculo tales que \(\angle BOA = 90^\circ\). Sobre el arco menor \(AB\), sean \(P\) y \(Q\) puntos tales que \(PQ \parallel AB\). Sean \(X\) y \(Y\) los puntos de intersección de la recta \(PQ\) con \(OA\) y \(OB\), respectivamente. Encuentra el valor de \(PX^2 + PY^2\).

4 Un triángulo variable tiene circunferencia inscrita y circunferencia circunscrita fijas. Demuestre que el centro radical de sus tres circunferencias exinscritas se encuentra sobre un círculo fijo y que el centro de dicho círculo es el punto medio del segmento que une el circuncentro y el incentro. Propuesto por Masoud Nourbakhsh

5 Hay $100$ cajas etiquetadas con los números $00$, $01$, $02$, $\ldots$, $99$. Los números $000$, $001$, $002$, $\ldots$, $999$ se escribieron en mil tarjetas, una en cada tarjeta. Colocar una tarjeta en una caja está permitido si el número de la caja se puede obtener quitando uno de los dígitos del número de la tarjeta. Por ejemplo, se permite colocar la tarjeta $037$ en la caja $07$, pero no se permite colocar la tarjeta $156$ en la caja $65$. ¿Puede suceder que después de colocar todas las tarjetas en las cajas, haya exactamente $50$ cajas vacías? Si la respuesta es sí, indica cómo se colocan las tarjetas en las cajas; si la respuesta es no, explica por qué es imposible.