1 Sean $a,b$ números reales tales que $|a|\neq |b|$ y $\frac{a+b}{a-b}+\frac{a-b}{a+b}=6$ . Calcule: $\frac{a^3+b^3}{a^3-b^3}+\frac{a^3-b^3}{a^3+b^3}$

2 Tres números tienen suma $k$ (donde $k\in \mathbb{R}$ ) y están en progresión aritmética. Si los dos primeros números permanecen iguales y al tercer número le sumamos $\frac{k}{6}$ , entonces obtenemos una progresión geométrica. Halle esos números.

3 ¿Cuántos enteros positivos menores o iguales que $2013$ son divisibles por $3$ o por $5$ ?

4 Sea $n$ un entero positivo; calcule: $1\cdot 1!+2\cdot2!+...+n\cdot n!$

5 Sea $P$ un punto interior o exterior (pero no sobre) de un triángulo $ABC$ . Demuestre que $PA +PB +PC$ es mayor que la mitad del perímetro del triángulo.

1 Sean $z_1$ y $z_2$ dos números complejos tales que $|z_1+2z_2|=|2z_1+z_2|$ . Demuestre que para todo número real $a$ se cumple $|z_1+az_2|=|az_1+z_2|$ .

5 Se da la siguiente tabla cuadrada con siete filas y siete columnas: $a_{11},a_{12},a_{13},a_{14},a_{15},a_{16},a_{17}$ $a_{21},a_{22},a_{23},a_{24},a_{25},a_{26},a_{27}$ $a_{31},a_{32},a_{33},a_{34},a_{35},a_{36},a_{37}$ $a_{41},a_{42},a_{43},a_{44},a_{45},a_{46},a_{47}$ $a_{51},a_{52},a_{53},a_{54},a_{55},a_{56},a_{57}$ $a_{61},a_{62},a_{63},a_{64},a_{65},a_{66},a_{67}$ $a_{71},a_{72},a_{73},a_{74},a_{75},a_{76},a_{77}$ . Suponga que $a_{ij}\in\{0,1\},\forall i,j\in\{1,...,7\}$ . Demuestre que existe al menos una combinación de los números $1$ y $0$ tal que se cumplan las siguientes condiciones: $(i)$ Cada fila y cada columna tiene exactamente tres $1$ . $(ii)$ $\sum_{j=1}^7a_{lj}a_{ij}=1,\forall l,i\in\{1,...,7\}$ y $l\neq i$ . (es decir, para cualesquiera dos filas distintas existe exactamente un $r$ tal que ambas filas tienen $1$ en el lugar $r$ - ésimo). $(iii)$ $\sum_{i=1}^7a_{ij}a_{ik}=1,\forall j,k\in\{1,...,7\}$ y $j\neq k$ . (es decir, para cualesquiera dos columnas distintas existe exactamente un $s$ tal que ambas columnas tienen $1$ en el lugar $s$ - ésimo).

1 Halle las dos últimas cifras de $2012^{2012}$ .

2 Sean $a,b,c$ las longitudes de los lados de un triángulo. Demuestre que $\left|\frac {a}{b}+\frac {b}{c}+\frac {c}{a}-\frac {b}{a}-\frac {c}{b}-\frac {a}{c}\right|<1$ .

3 Sea $n\not\equiv 2\pmod{3}$ . ¿Es $\sqrt{\lfloor n+\tfrac {2n}{3}\rfloor+7},\forall n \in \mathbb {N}$ un número natural?