9 Los puntos $A$ , $B$ , $C$ se encuentran sobre la esfera $\Omega$ . Los puntos $D$ , $E$ y $F$ son los pies de las alturas del triángulo $ABC$ trazadas desde $A$ , $B$ y $C$ , respectivamente. Las rectas perpendiculares al plano $ABC$ que pasan por $D$ , $E$ , $F$ intersecan a la esfera $\Omega$ nuevamente en los puntos $X$ , $Y$ , $Z$ , y estos puntos se encuentran en el mismo lado del plano $ABC$ . Determine todos los triángulos $ABC$ para los cuales las rectas $AX$ , $BY$ , $CZ$ son concurrentes.

10 Definimos una sucesión $a_n$ de enteros positivos como sigue: $a_1= 1$ , y para $n \in \mathbb{Z}+$ elegimos $a_{n+1}$ como el menor entero posible que sea diferente de $a_1$ , $a_2$ , ..., $a_n$ y divisible por al menos la mitad de estos números. Demuestre que para cualquier $k\in\mathbb{Z}_+$ existe un término de esta sucesión divisible por $3^k$ .

11 Sea $S(N)$ la suma de las cifras de un entero positivo $N$ en su representación decimal. Llamamos ingenioso a un par $(m,n)$ de enteros positivos si existe $a \in \mathbb{Z}_+$ tal que \[\frac{a \cdot mS(mn)-S(n)}{a \cdot nS(mn) - S(m)} = - \frac{m}{n}.\] Demuestre que existe un entero positivo $C$ tal que todo par ingenioso $(m,n)$ satisface $\text{gcd}(m,n) \mid C$ .

12 Se dan un entero $a$ y un polinomio no constante $Q$ con coeficientes enteros. Demuestre que existe una constante $C > 0$ , que depende solo de $Q$ y de $a$ , tal que para todo primo $p$ el número de enteros $n \in {0,1,\ldots,p-1}$ que satisfacen la divisibilidad \[ p \mid Q(n) - a^n \] es a lo sumo $C\sqrt{p}$ .

L1 Calcule \[\left\lfloor\frac1{\sqrt[3]{67}-4}\right\rfloor.\]

L2 Halle el menor número real positivo $x$ tal que $\tan16x^\circ=\tan x^\circ+\sec x^\circ.$

U1/L3 Dado que para algunos números racionales positivos $x,$ $y,$ y $z,$ \[\log_{x}y+\log_{y}z=\log_{x}z,\] \[\log_{x}\frac yz=\frac{\log_{y}x}{z},\] $z>67,$ y $z$ lo más pequeño posible, si el producto de todos los valores posibles de $xyz$ es $\frac mn,$ calcule la suma de los factores primos no necesariamente distintos de $mn.$ En otras palabras, si $mn=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\dots p_n^{e_n},$ calcule $p_1e_1+p_2e_2+\cdots+p_ne_n.$

U5 Dado que $x=p-\sqrt q$ es la única raíz real de \[x^3+\left(1+\sqrt{1+x}\right)^1\left(2+\sqrt{4+x}\right)^2\left(3+\sqrt{9+x}\right)^3=0,\] donde $p$ y $q$ son racionales y $q>0$ , calcule $p+q.$ Suponga una raíz cuadrada con valores complejos. En otras palabras, suponga $\sqrt{-k}=i\sqrt k,$ donde $k$ es un número real positivo.

U6 Sean $r_1,\dots,r_{12}$ las raíces primitivas 21-ésimas de la unidad. Además, sea \[a_k=r_k^4-r_k^3+r_k^2-r_k+1\text{ and }b_k=r_k^6+2r_k^4-3r_k^3+2r_k^2+1\] para todo $k\in[1,12].$ Para alguna permutación $\phi$ de $[1,12]$ tal que para todo $i\in [1,12],$ $r_ka_kb_{\phi(k)}$ es real, calcule el valor máximo posible de \[\left(\sum_{i=1}^{12}|a_kb_{\phi(k)}|\right)^2.\]

1 ¿Existen cuatro rectas en el mismo plano, sin tres concurrentes y sin dos paralelas, tales que cuatro partículas puedan viajar a velocidades constantes no nulas (posiblemente distintas) a lo largo de estas rectas y de modo que en todo instante de tiempo las posiciones de las cuatro partículas sean concíclicas? User-1948581