1 Determina todos los números primos $p$ y todos los enteros positivos $x$ y $y$ que satisfacen $$x^3+y^3=p(xy+p).$$

1 Encuentra todos los tripletes \( (x,y,z) \) de números reales tales que \[ 2x^3 + 1 = 3zx \] \[ 2y^3 + 1 = 3xy \] \[ 2z^3 + 1 = 3yz \]

12 Para cualquier permutación $p$ del conjunto $\{1, 2, \ldots, n\}$, define $d(p) = |p(1) - 1| + |p(2) - 2| + \ldots + |p(n) - n|$. Denota por $i(p)$ el número de pares de enteros $(i, j)$ en la permutación $p$ tales que $1 \leq i < j \leq n$ y $p(i) > p(j)$. Encuentra todos los números reales $c$ tales que la desigualdad $i(p) \leq c \cdot d(p)$ se cumple para cualquier entero positivo $n$ y cualquier permutación $p.$ Amir

13 Seis ciudades \(A, B, C, D, E\) y \(F\) están ubicadas en los vértices de un hexágono regular en ese orden. \(G\) es el centro del hexágono. Los lados del hexágono son las carreteras que conectan estas ciudades. Además, hay carreteras que conectan las ciudades \(B, C, E, F\) y \(G\), respectivamente. Debido a la lluvia, una o más carreteras pueden ser destruidas. La probabilidad de que la carretera entre dos ciudades consecutivas permanezca sin destruir es \(p\). Determina la probabilidad de que la carretera entre las ciudades \(A\) y \(D\) esté sin destruir. Amir

14 Llamamos a un conjunto $S$ en la recta real $R$ "superinvariante" si, para cualquier estiramiento $A$ del conjunto $S$ mediante la transformación que lleva $x$ a $A(x) = x_0 + a(x - x_0)$, donde $a > 0$, existe una transformación $B$, $B(x) = x + b$, tal que las imágenes de $S$ bajo $A$ y $B$ coinciden; es decir, para cualquier $x \in S$, existe $y \in S$ tal que $A(x) = B(y)$, y para cualquier $t \in S$, existe $u \in S$ tal que $B(t) = A(u)$. Determina todos los conjuntos superinvariantes. Amir

Dado un triángulo \( ABC \). Sean \( G \), \( I \), \( H \) el baricentro, el incentro y el ortocentro del triángulo \( ABC \), respectivamente. Demuestra que \( \angle GIH > 90^{\circ} \).

Llamamos a un entero \( k \geq 1 \) con la propiedad \( P \), si existe al menos un entero \( m \geq 1 \) que no puede expresarse en la forma \( m = \varepsilon_1 z_1^k + \varepsilon_2 z_2^k + \cdots + \varepsilon_{2k} z_{2k}^k \), donde \( z_i \) son enteros no negativos y \( \varepsilon_i = 1 \) o \( -1 \), \( i = 1, 2, \ldots, 2k \). Demuestra que hay infinitos enteros \( k \) que tienen la propiedad \( P \). Amir

17 1990 matemáticos asisten a una reunión, cada matemático tiene al menos 1327 amigos (la relación de amistad es recíproca). Demuestra que existen cuatro matemáticos entre ellos tales que cualesquiera dos de ellos son amigos. Amir

1 Halle todos los pares $(a, b)$ de enteros que satisfacen la ecuación $a^{4}-3a^{2}+4a-3=7\cdot3^{b}$ .

18 Encuentra, con prueba, el menor entero positivo \( n \) que tenga la siguiente propiedad: en la representación binaria de \( \frac{1}{n} \), todas las representaciones binarias de \( 1, 2, \ldots, 1990 \) (cada una consiste de dígitos consecutivos) aparecen después del punto decimal. Amir