Sea $A_1A_2\dots A_{2n}$ un $2n$ - ágono regular inscrito en la circunferencia $\omega$ . Sea $P$ cualquier punto de la circunferencia $\omega$ . Sean $H_1,H_2,\dots, H_n$ los ortocentros de los triángulos $PA_1A_2, PA_3A_4,\dots, PA_{2n-1}A_{2n}$ , respectivamente. Demuestre que $H_1H_2\dots H_n$ es un $n$ - ágono regular.

Joy tiene un tablero cuadrado de tamaño $n \times n$ . En cada paso, colorea una casilla del tablero. No puede colorear una casilla más de una vez. También cuenta puntos mientras colorea las casillas. Al principio tiene $0$ puntos. En cada paso, después de colorear una casilla $c$ , toma el mayor conjunto posible $S$ que forme un signo " $+$ " donde todas las casillas estén coloreadas y $c$ esté en el centro. Luego, obtiene el tamaño del conjunto $S$ como puntos. Después de colorear todo el tablero de $n \times n$ , ¿cuál es la cantidad máxima posible de puntos que puede obtener?

5 Sean $ x, y, z > 0 $ con $ x \leq 2, \;y \leq 3 \;$ y $ x+y+z = 11 $ . Demuestre que $xyz \leq 36$

Igual que el problema 9.2

. Describa todos los triángulos $ABC$ para los cuales se cumple la igualdad $AB+CK=AC+BL$ , donde $CK$ y $BL$ son las alturas del triángulo $ABC$ . P2. En un concurso de matemáticas en el que se ofrecen $4$ problemas, participan $25$ estudiantes. Cada problema solo se puntúa como resuelto o no resuelto (no se consideran las soluciones parciales). Demuestre que o bien existen $4$ participantes que resolvieron exactamente el mismo conjunto de problemas (posiblemente los cuatro no resolvieron ninguno de los problemas), o bien existen $2$ participantes tales que cada uno de ellos resolvió exactamente los problemas que el otro no resolvió. P3. Halle todos los pares de números primos $p$ y $q$ para los cuales $0<\left|\frac{p}{q}-\frac{q}{p}\right|<\frac{4}{\sqrt{pq}}$ . P4. Sean $a, b, c$ números reales positivos tales que $a+b+c=1$ . Demuestre que se cumple la desigualdad $abc\leqslant(ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2)^2$ . P5. Defina $s=1!(1^{2}+1+1)+2!(2^{2}+2+1)+\ldots+2011!(2011^{2}+2011+1)$ . Halle el valor de $\frac{s+1}{2012!}$ . P6. Todos los números de siete cifras cuya representación decimal contiene cada uno de los dígitos $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ exactamente una vez se numeran en orden creciente (el número $1234567$ tiene índice $1$ ) . ¿Qué índice tiene el número $3654721$ ?

7 Igual que 10.8

7 Ver Juniors

4 Halle todos los números naturales $n$ tales que $8^{n}-1\mid80^{n}-1$ .

Halle todas las posibles soluciones enteras no negativas ( $x,$ $y$ ) de la siguiente ecuación- $$x!+2^y=z!$$ Nota: $x!=x\cdot(x-1)!$ y $0!=1$ . Por ejemplo, $5!=5\times4\times3\times2\times1=120$ .

N3 Halle todos los números primos $p$ y los enteros no negativos $x\neq y$ tales que $x^4- y^4=p(x^3-y^3)$ . Propuesto por Bulgaria