1 Sean $a, b, c$ números reales distintos y $x$ un número real. Dado que tres números entre $ax^2+bx+c, ax^2+cx+b, bx^2+cx+a, bx^2+ax+c, cx^2+ax+b, cx^2+bx+a$ coinciden, demuestre que $x=1$ .

2 Dos enteros positivos distintos se denominan "relativamente consistentes" si el mayor puede escribirse como suma de algunos divisores positivos distintos del otro. Demuestre que existen 2018 enteros positivos tales que cualesquiera dos de ellos son "relativamente consistentes"

3 Sea $H$ el ortocentro de un triángulo acutángulo $ABC$ . La circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ y la circunferencia de diámetro $[AH]$ se intersecan en el punto $E$ , distinto de $A$ . Sea $M$ el punto medio del arco menor $BC$ de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ y sea $N$ el punto medio del arco mayor $BC$ de la circunferencia circunscrita del triángulo $BHC$ . Demuestre que los puntos $E, H, M, N$ son concíclicos.

4 $n\geq3$ cajas están colocadas alrededor de un círculo. En el primer paso elegimos algunas cajas. En el segundo paso, para cada caja elegida ponemos una bola en la caja elegida y en cada una de sus dos cajas vecinas. Halle el número total de distribuciones distintas de bolas que pueden obtenerse de esta manera. (Todas las bolas son idénticas.)

5 Sea $a_1, a_2, ... , a_{1000}$ una sucesión de enteros tal que $a_1=3, a_2=7$ y para todo $n=2, 3, ... , 999$ se tiene $a_{n+1}-a_n=4(a_1+a_2)(a_2+a_3) ... (a_{n-1}+a_n)$ . Halle el número de índices $1\leq n\leq 1000$ para los cuales $a_n+2018$ es un cuadrado perfecto.

6 Un punto $E$ está situado dentro de un paralelogramo $ABCD$ tal que $\angle BAE = \angle BCE$ . Los centros de las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABE,ECB, CDE$ y $DAE$ son concíclicos.

3 a) ¿De cuántas maneras podemos leer la palabra SARAJEVO de la tabla de abajo, si se permite saltar de una casilla a una casilla adyacente (por un vértice o por un lado)? b) Después de que se eliminó la letra de una casilla, solo quedaron $525$ maneras de leer la palabra SARAJEVO. Encuentre todas las posiciones posibles de esa casilla.

7 En el torneo de ajedrez de todos contra todos organizado en una escuela, cada dos estudiantes jugaron una partida entre ellos. Halle el número mínimo posible de estudiantes en la escuela si cada estudiante mujer tiene al menos 21 victorias en partidas contra estudiantes hombres y cada estudiante hombre tiene al menos 12 victorias en partidas contra estudiantes mujeres.

8 Sean $x, y, z$ números reales positivos tales que $\sqrt {x}, \sqrt {y}, \sqrt {z}$ son lados de un triángulo y $\frac {x}{y}+\frac {y}{z}+\frac {z}{x}=5$ . Demuestre que $\frac {x(y^2-2z^2)}{z}+\frac {y(z^2-2x^2)}{x}+\frac {z(x^2-2y^2)}{y}\geqslant0$

2 Los números $a$ , $b$ y $c$ son reales. Demuestre que $$(a^5+b^5+c^5+a^3c^2+b^3a^2+c^3b^2)^2\geq 4(a^2+b^2+c^2)(a^5b^3+b^5c^3+c^5a^3)$$