Halle la menor constante $C > 0$ para la cual se cumple el siguiente enunciado: entre cualesquiera cinco números reales positivos $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ (no necesariamente distintos), siempre se pueden elegir subíndices distintos $i,j,k,l$ tales que \[ \left| \frac{a_i}{a_j} - \frac {a_k}{a_l} \right| \le C. \]

Sea $n \geq 3$ un entero positivo. Halle el número máximo de diagonales de un $n$ -gono regular que se pueden seleccionar, de modo que cualesquiera dos de ellas no se intersequen en el interior o sean perpendiculares entre sí.

Considere fracciones $\frac{a}{b}$ donde $a$ y $b$ son enteros positivos. (a) Demuestre que para todo entero positivo $n$ , existe una fracción $\frac{a}{b}$ tal que $\sqrt{n} \le \frac{a}{b} \le \sqrt{n+1}$ y $b \le \sqrt{n}+1$ . (b) Demuestre que hay infinitos enteros positivos $n$ tales que ninguna fracción $\frac{a}{b}$ de este tipo satisface $\sqrt{n} \le \frac{a}{b} \le \sqrt{n+1}$ y $b \le \sqrt{n}$ .

Sea $n$ un entero positivo, y sea $S_n$ el conjunto de todas las permutaciones de $1,2,...,n$ . Sea $k$ un entero no negativo, sea $a_{n,k}$ el número de permutaciones pares $\sigma$ en $S_n$ tales que $\sum_{i=1}^{n}|\sigma(i)-i|=2k$ y sea $b_{n,k}$ el número de permutaciones impares $\sigma$ en $S_n$ tales que $\sum_{i=1}^{n}|\sigma(i)-i|=2k$ . Calcule $a_{n,k}-b_{n,k}$ . * * *

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $\angle ABC = \angle ADC < 90^{\circ}$ . Las bisectrices interiores de los ángulos $\angle ABC$ y $\angle ADC$ cortan a $AC$ en $E$ y $F$ , respectivamente, y se cortan entre sí en el punto $P$ . Sea $M$ el punto medio de $AC$ y sea $\omega$ el circuncírculo del triángulo $BPD$ . Los segmentos $BM$ y $DM$ intersecan de nuevo a $\omega$ en $X$ y $Y$ , respectivamente. Denote por $Q$ el punto de intersección de las rectas $XE$ y $YF$ . Demuestre que $PQ \perp AC$ .

1 Dados enteros positivos $k$ y $m$ , demuestre que $m$ y $\binom{n}{k}$ son coprimos para infinitos enteros $n\geq k$ . ThE-dArK-lOrD

3 Encuentra todas las funciones \( f: \mathbb{Q}\to\mathbb{R} \) que cumplen las siguientes condiciones: a) \( f(1)+1>0 \) ; b) \( f(x+y) -xf(y) -yf(x) = f(x)f(y) -x-y +xy \) , para todo \( x,y\in\mathbb{Q} \) ; c) \( f(x) = 2f(x+1) +x+2 \) , para todo \( x\in\mathbb{Q} \) . Valentin

2 Sea $ABC$ un triángulo, y sea la tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en $A$ que corta a la recta $BC$ en $D$. La perpendicular a $BC$ en $B$ corta a la mediatriz de $AB$ en $E$. La perpendicular a $BC$ en $C$ corta a la mediatriz de $AC$ en $F$. Demuestra que los puntos $D$, $E$ y $F$ son colineales. Valentin Vornicu Valentin

2015 g5 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo de circuncentro $O$ y sean $D, E, F$ los pies de las alturas trazadas desde $A, B, C$ , respectivamente. Sea $ P$ el pie de la perpendicular trazada desde $ B$ sobre $DE$ y $Q$ el pie de la perpendicular trazada desde $C$ sobre $DF$ . Demuestre que $OD$ es perpendicular a $PQ$ .

1 ¿Se pueden encontrar 4004 enteros positivos tales que la suma de cualesquiera 2003 de ellos no sea divisible por 2003? Valentin