4 Particione $\frac1{2002},\frac1{2003},\frac1{2004},\ldots,\frac{1}{2017}$ en dos grupos. Defina $A$ como la suma de los números del primer grupo y $B$ como la suma de los números del segundo grupo. Halle la partición para la cual $|A-B|$ alcanza su mínimo y explique la razón.

5 Defina una sucesión $\{a_n\}$ mediante \[S_1=1,\ S_{n+1}=\frac{(2+S_n)^2}{ 4+S_n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots).\] Donde $S_n$ es la suma de los primeros $n$ términos de la sucesión $\{a_n\}$ . Para cualquier entero positivo $n$ , demuestre que \[a_{n}\ge \frac{4}{\sqrt{9n+7}}.\]

5 Sean $0=x_0<x_1<\cdots<x_n=1$ .Halle el mayor número real $ C$ tal que para cualquier entero positivo $ n $ se tenga $$\sum_{k=1}^n x^2_k (x_k - x_{k-1})>C$$

6 Dados un conjunto finito $X$ , dos enteros positivos $n,k$ y una aplicación $f:X\to X$ . Defina $f^{(1)}(x)=f(x),f^{(i+1)}(x)=f^{(i)}(x)$ , $i=1,2,3,\ldots$ . Se sabe que para cualquier $x\in X$ , $f^{(n)}(x)=x$ . Defina $m_j$ como el número de $x\in X$ que satisfacen $f^{(j)}(x)=x$ . Demuestre que: (1 ) $\frac{1}n \sum_{j=1}^n m_j\sin {\frac{2kj\pi}{n}}=0$ (2 ) $\frac{1}n \sum_{j=1}^n m_j\cos {\frac{2kj\pi}{n}}$ es un entero no negativo.

4 Sea $n$ un entero positivo y $a_1,a_2,\cdots,a_n\in\{0,1,\cdots,n\}$ . Para el entero $j$ $(1\le j\le n)$ , defina $b_j$ como el número de elementos del conjunto $\{i|i\in\{1,\cdots,n\},a_i\ge j\}$ . Por ejemplo: Cuando $n=3$ , si $a_1=1,a_2=2,a_3=1$ , entonces $b_1=3,b_2=1,b_3=0$ . $(1)$ Demuestre que $$\sum_{i=1}^{n}(i+a_i)^2\ge \sum_{i=1}^{n}(i+b_i)^2.$$ $(2)$ Demuestre que $$\sum_{i=1}^{n}(i+a_i)^k\ge \sum_{i=1}^{n}(i+b_i)^k,$$ para el entero $k\ge 3.$

1 Sea $n\ge 3$ un entero. Coloque $n^2$ tarjetas, cada una etiquetada con $1,2,\ldots ,n^2$ respectivamente, en cualquier orden en $n$ cajas vacías de modo que haya exactamente $n$ tarjetas en cada caja. Se puede realizar la operación siguiente: primero se seleccionan $2$ cajas, se sacan cualesquiera $2$ tarjetas de cada una de las cajas seleccionadas y luego se devuelven las tarjetas a la otra caja seleccionada. Demuestre que, para cualquier orden inicial de las $n^2$ tarjetas en las cajas, se puede realizar la operación un número finito de veces de modo que los números etiquetados en cada caja sean enteros consecutivos.

6 Halle el mayor entero positivo $m$ , tal que se pueda colocar una de las $4$ letras $C,G,M,O$ en cada celda de una tabla con $m$ filas y $8$ columnas, y que tenga la propiedad siguiente: Para cualesquiera dos filas distintas de la tabla, existe a lo sumo una columna tal que las entradas de estas dos filas en dicha columna sean la misma letra.

7 En el triángulo acutángulo $ABC, AB<AC$ , $I$ es su incentro, $D$ es el pie de la perpendicular desde $I$ a $BC$ , y la altura $AH$ corta a $BI,CI$ en $P,Q$ respectivamente. Sea $O$ el circuncentro de $\triangle IPQ$ ; prolongue $AO$ hasta que corte a $BC$ en $L$ . La circunferencia circunscrita de $\triangle AIL$ corta a $BC$ nuevamente en $N$ . Demuestre que $\frac{BD}{CD}=\frac{BN}{CN}$ .

8 Sea $\mathbb{Q}$ el conjunto de los números racionales y $\mathbb{Z}$ el conjunto de los enteros. En el plano coordenado, dado un entero positivo $m$ , defina $$A_m = \left\{ (x,y)\mid x,y\in\mathbb{Q}, xy\neq 0, \frac{xy}{m}\in \mathbb{Z}\right\}.$$ Para un segmento $MN$ , defina $f_m(MN)$ como el número de puntos del segmento $MN$ que pertenecen al conjunto $A_m$ . Halle el menor número real $\lambda$ tal que para cualquier recta $l$ del plano coordenado exista una constante $\beta (l)$ relacionada con $l$ que satisfaga: para cualesquiera dos puntos $M,N$ sobre $l$ , $$f_{2016}(MN)\le \lambda f_{2015}(MN)+\beta (l)$$

1 Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo con $AB>AC$ , sea $O$ su circuncentro y $D$ el punto medio del lado $BC$ . La circunferencia con diámetro $AD$ corta a los lados $AB,AC$ nuevamente en los puntos $E,F$ respectivamente. La recta que pasa por $D$ paralela a $AO$ corta a $EF$ en $M$ . Muestre que $EM=MF$ .