5 En una fiesta con $99$ invitados, los anfitriones Ann y Bob juegan un juego (los anfitriones no se consideran invitados). Hay $99$ sillas dispuestas en un círculo; inicialmente, todos los invitados están de pie alrededor de esas sillas. Los anfitriones turnan alternadamente. En un turno, un anfitrión ordena a cualquier invitado que esté de pie sentarse en una silla desocupada $c$. Si alguna silla adyacente a $c$ ya está ocupada, el mismo anfitrión ordena a un invitado en tal silla que se levante (si ambas sillas adyacentes a $c$ están ocupadas, el anfitrión elige exactamente una de ellas). Todas las órdenes se ejecutan de inmediato. Ann hace el primer movimiento; su meta es lograr, después de algún movimiento suyo, que al menos $k$ sillas estén ocupadas. Determina el mayor $k$ para el cual Ann puede alcanzar la meta, sin importar cómo juegue Bob.

2007 g2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $O$ su circuncentro. Sean $D, E, F$ los pies de las alturas desde $A, B, C$ , y $M,N,P$ los puntos medios de los lados $BC$ , $CA$ , $AB$ , respectivamente. Considere la circunferencia $C_a$ que pasa por $O$ y es tangente a $BC$ en $M$ . Análogamente se definen $C_b$ y $C_c$ . Sea $I_a$ la intersección de $C_b$ y $C_c$ , distinta de $O$ . Análogamente se definen $I_b$ y $I_c$ . Demuestre que $I_aD$ , $I_bE$ y $I_CF$ concurren en el centroide del triángulo $ABC$ .

2007 g3 En un triángulo $ABC$ , consideramos la circunferencia $\Gamma$ de radio $AC$ y centro $C$ . Sea $D$ el segundo punto de intersección de la bisectriz de $\angle BAC$ con $\Gamma$ , $E$ el segundo punto de intersección de $CD$ con $\Gamma$ , y sea $F$ el punto medio de $AB$ . Demuestre que $AD$ , $BE$ y $CF$ son concurrentes.

1 Una sucesión de números reales $ a_{0},\ a_{1},\ a_{2},\dots$ está definida por la fórmula \[ a_{i + 1} = \left\lfloor a_{i}\right\rfloor\cdot \left\langle a_{i}\right\rangle\qquad\text{for}\quad i\geq 0; \] aquí $a_0$ es un número real arbitrario, $\lfloor a_i\rfloor$ denota el mayor entero que no supera a $a_i$ , y $\left\langle a_i\right\rangle=a_i-\lfloor a_i\rfloor$ . Demuestre que $a_i=a_{i+2}$ para $i$ suficientemente grande. Propuesto por Harmel Nestra, Estonia

2007 g4 Sea $ABC$ un triángulo no isósceles con $ \angle BAC = 60^o$ , circuncentro $O$ e incentro $I$ . Demuestre que $BC$ , $OI$ , y la mediatriz de $AI$ son concurrentes.

12 En el plano se dan cuatro circunferencias distintas $C,C_1, C_2$ , C3 y una recta L tales que $C$ y $L$ son disjuntos y cada una de las circunferencias $C_1, C_2, C_3$ toca a las otras dos, así como a $C$ y $L$ . Suponiendo que el radio de $C$ es $1$ , determine la distancia entre su centro y $L.$ Amir

5 Turbo el caracol juega un juego en un tablero con $2024$ filas y $2023$ columnas. Hay monstruos ocultos en $2022$ de las celdas. Inicialmente, Turbo no sabe dónde está ninguno de los monstruos, pero sabe que hay exactamente un monstruo en cada fila excepto la primera fila y la última fila, y que cada columna contiene a lo sumo un monstruo. Turbo hace una serie de intentos para ir desde la primera fila hasta la última fila. En cada intento, elige comenzar en cualquier celda de la primera fila, y luego se mueve repetidamente a una celda adyacente que comparte un lado común. (Se le permite volver a una celda visitada anteriormente.) Si llega a una celda con un monstruo, su intento termina y es transportado de vuelta a la primera fila para comenzar un nuevo intento. Los monstruos no se mueven, y Turbo recuerda si cada celda que ha visitado contiene o no un monstruo. Si llega a cualquier celda de la última fila, su intento termina y el juego se acaba. Determina el valor mínimo de $n$ para el cual Turbo tiene una estrategia que garantiza llegar a la última fila en el intento $n$-ésimo o antes, independientemente de las ubicaciones de los monstruos. Propuesto por Cheuk Hei Chu, Hong Kong

2 Sea $ k$ un entero positivo. Un conjunto $ A \subseteq \mathbb{Z}$ se llama $ \textbf{k - set}$ si existen $ x_1, x_2, \cdots, x_k \in \mathbb{Z}$ tales que para cualesquiera $ i \neq j$ , $ (x_i + A) \cap (x_j + A) = \emptyset$ , donde $ x + A = \{ x + a \mid a \in A \}$ . Demuestre que si $ A_i$ es un $ \textbf{k}_i\textbf{ - set}$ ( $ i = 1,2, \cdots, t$ ) , y $ A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_t = \mathbb{Z}$ , entonces $ \displaystyle \frac {1}{k_1} + \frac {1}{k_2} + \cdots + \frac {1}{k_t} \geq 1$ .

31 Sea $R$ un conjunto de exactamente $6$ elementos. Un conjunto $F$ de subconjuntos de $R$ se llama una $S$-familia sobre $R$ si y solo si satisface las siguientes tres condiciones: (i) Para ningún par de conjuntos $X, Y$ en $F$ se tiene que $X \subseteq Y$; (ii) Para cualesquiera tres conjuntos $X, Y, Z$ en $F$, se cumple que $X \cup Y \cup Z \neq R$; (iii) $\bigcup_{X \in F} X = R$ Amir

2 Determine todos los pares $(x, y)$ de enteros positivos tales que \[\sqrt[3]{7x^2-13xy+7y^2}=|x-y|+1.\] Propuesto por Titu Andreescu, Estados Unidos