15 Sea el triángulo \(ABC\) un triángulo rectángulo en el plano \(xy\) con ángulo recto en \(C\). Dado que la longitud de la hipotenusa \(AB\) es 60, y que las medianas que pasan por \(A\) y \(B\) están sobre las rectas \(y=x+3\) y \(y=2x+4\) respectivamente, encuentra el área del triángulo \(ABC\).

Supón que \( a \), \( b \), \( c \) y \( d \) son enteros positivos tales que \( a^5 = b^4 \), \( c^3 = d^2 \) y \( c - a = 19 \). Determina \( d - b \).

8 La suma de los siguientes siete números es exactamente 19: \[a_1=2.56,\qquad a_2=2.61,\qquad a_3=2.65,\qquad a_4=2.71,\] \[a_5=2.79,\qquad a_6=2.82,\qquad a_7=2.86.\] Se desea reemplazar cada \(a_i\) por una aproximación entera \(A_i\), \(1 \le i \le 7\), de modo que la suma de los \(A_i\) también sea 19 y que \(M\), el máximo de los "errores" \(|A_i - a_i|\), sea lo más pequeño posible. Para este \(M\) mínimo, ¿cuánto vale \(100M\)?

En un círculo, cuerdas paralelas de longitudes 2, 3 y 4 determinan ángulos centrales de $\alpha$, $\beta$ y $\alpha + \beta$ radianes, respectivamente, donde $\alpha + \beta < \pi$. Si $\cos \alpha$, que es un número racional positivo, se expresa como una fracción en su forma más simple, ¿cuál es la suma de su numerador y su denominador?

10 ¿Cuántos de los primeros 1000 enteros positivos se pueden expresar en la forma \[ \lfloor 2x \rfloor + \lfloor 4x \rfloor + \lfloor 6x \rfloor + \lfloor 8x \rfloor, \] donde $x$ es un número real, y $\lfloor z \rfloor$ denota el mayor entero menor o igual que $z$?

Una elipse tiene focos en $(9,20)$ y $(49,55)$ en el plano $xy$ y es tangente al eje $x$. ¿Cuál es la longitud de su eje mayor?

12 Sean \( A \), \( B \), \( C \) y \( D \) los vértices de un tetraedro regular, cuyas aristas miden 1 metro cada una. Un insecto, comenzando en el vértice \( A \), sigue la siguiente regla: en cada vértice elige una de las tres aristas que se encuentran en ese vértice, siendo cada arista igualmente probable de ser elegida, y se arrastra a lo largo de esa arista hasta el vértice en su extremo opuesto. Sea \( p = n/729 \) la probabilidad de que el insecto esté en el vértice \( A \) cuando haya recorrido exactamente 7 metros. Encuentra el valor de \( n \).

3 Encuentra $c$ si $a$, $b$ y $c$ son enteros positivos que satisfacen $c=(a + bi)^3 - 107i$, donde $i^2 = -1$.

1 Sea $x_1 = 97$, y para $n > 1$ sea $x_n = \frac{n}{x_{n - 1}}$. Calcula el producto $x_1 x_2 \dotsm x_8$.

2 Cuando un triángulo rectángulo se rota alrededor de uno de sus catetos, el volumen del cono producido es $800 \pi$ $\text{cm}^3$. Cuando el triángulo se rota alrededor del otro cateto, el volumen del cono producido es $1920 \pi$ $\text{cm}^3$. ¿Cuál es la longitud (en cm) de la hipotenusa del triángulo?