Dos jugadores, A y B, juegan al siguiente juego: retiran monedas de una pila que inicialmente contiene 2006 monedas. Los jugadores juegan retirando alternadamente, en cada movimiento, de 1 a 7 monedas, y cada jugador se queda con las monedas que retira. Si un jugador lo desea, puede pasar (no retira ninguna moneda), pero para hacerlo debe pagar 7 monedas de las que retiró de la pila en movimientos anteriores. Estas 7 monedas se llevan a una caja separada y ya no interfieren en el juego. El ganador es el que retira la última moneda, y A comienza el juego. Determina qué jugador puede ganar con seguridad, sin importar cómo juegue el otro. Muestra la estrategia ganadora y explica por qué funciona.

3 Sea $n$ un número natural. La sucesión finita $\alpha$ de términos enteros positivos tiene $n$ números distintos ( $\alpha$ puede tener términos repetidos). Además, si de cualquiera de sus términos restamos 1, obtenemos una sucesión que tiene, entre sus términos, al menos $n$ números positivos distintos. ¿Cuál es el valor mínimo de la suma de todos los términos de $\alpha$?

4 Daniel escribe en un pizarrón, de arriba hacia abajo, una lista de números enteros positivos menores o iguales a 10. Junto a cada número de la lista de Daniel, Martín escribe el número de veces que aparece ese número en la lista de Daniel, formando una lista de la misma longitud. Si leemos la lista de Martín de abajo hacia arriba, obtenemos la misma lista de números que Daniel escribió de arriba hacia abajo. Encuentra la mayor longitud que puede tener la lista de Daniel.

5 Encuentra todos los números enteros positivos $n$ tales que $[\sqrt{n}]-2$ divide a $n-4$ y $[\sqrt{n}]+2$ divide a $n+4$. Nota: $[r]$ denota la parte entera de $r$.

6 Dividimos el plano en cuadrados de lado 1, trazando rectas paralelas a los ejes de coordenadas. Cada cuadrado se pinta de blanco o negro. A cada segundo, recoloreamos todos los cuadrados simultáneamente, de acuerdo con la siguiente regla: cada cuadrado $Q$ adopta el color que más aparece en la configuración de cinco cuadrados indicada en la figura. El proceso de recoloreado se repite indefinidamente. Determina si existe una coloración inicial con una cantidad finita de cuadrados negros tal que siempre haya al menos un cuadrado negro, sin importar cuántos segundos hayan pasado desde el inicio del proceso.

1 Sea $f:Z \to N -\{0\}$ tal que: $f(x + y)f(x-y) = (f(x)f(y))^2$ y $f(1)\ne 1$ . Demuestra que $\log_{f(1)}f(z)$ es un cuadrado perfecto para todo entero $z$ .

2 Determina los enteros $0 \le a \le b \le c \le d$ tales que: $$2^n= a^2 + b^2 + c^2 + d^2.$$

1 Determina todas las ternas $(x,y,p)$ de enteros positivos tales que $p$ es primo, $p=x^2+1$ y $2p^2=y^2+1$.

5 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Encuentra el lugar geométrico de los centros de los rectángulos cuyos vértices están sobre los lados de $ABC$.

6 Decimos que tres enteros distintos son amigables si uno de ellos divide al producto de los otros dos. Sea $n$ un entero positivo. a) Muestra que, entre $n^2$ y $n^2+n$, exclusivo, no existe ningún trío de números amigables. b) Determina si para cada $n$ existe un trío de números amigables entre $n^2$ y $n^2+n+3\sqrt{n}$, exclusivo.