1 Dada una $n$ - tupla ordenada $A=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$ de números reales, donde $n\ge 2$ , definimos $b_k=\max{a_1,\ldots a_k}$ para cada k. Definimos $B=(b_1,b_2,\cdots ,b_n)$ como la «tupla innovada» de $A$ . El número de elementos distintos de $B$ se denomina el «grado innovado» de $A$ . Considere todas las permutaciones de $1,2,\ldots ,n$ como una $n$ - tupla ordenada. Halle la media aritmética del primer término de las permutaciones cuyos grados innovados son todos iguales a $2$ .

N8 Determine todas las funciones $f\colon\mathbb{Z}_{>0}\to\mathbb{Z}_{>0}$ tales que, para todos los enteros positivos $a$ y $b$ , \[ f^{bf(a)}(a+1)=(a+1)f(b). \] KevinYang2.71

3 Un club de tenis de mesa organiza una serie de partidos de dobles de acuerdo con las siguientes reglas: (i) cada jugador pertenece a lo sumo a dos parejas; (ii) cada dos parejas distintas juegan a lo sumo un partido entre sí; (iii) los jugadores de una misma pareja no juegan entre sí cuando se emparejan respectivamente con otros. Cada jugador juega un cierto número de partidos en esta serie. Todos estos números distintos forman un conjunto denominado el «conjunto de partidos». Considere un conjunto $A=\{a_1,a_2,\ldots ,a_k\}$ de enteros positivos tal que todo elemento de $A$ sea divisible por $6$ . Determine el número mínimo de jugadores necesarios para participar en esta serie de modo que exista un calendario para el cual el conjunto de partidos correspondiente sea igual al conjunto $A$ .

A1 Sea $\mathbb{Z}$ el conjunto de los enteros. Determine todas las funciones $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ tales que, para todos los enteros $a$ y $b$ , $$f(2a)+2f(b)=f(f(a+b)).$$ Propuesto por Liam Baker, Sudáfrica

6 Hay $n \geq 2$ clases que organizan $m \geq 1$ grupos extracurriculares para estudiantes. Cada clase tiene estudiantes que participan en al menos un grupo extracurricular. Cada grupo extracurricular tiene exactamente $a$ clases en las que participan los estudiantes de este grupo. Para cualesquiera dos grupos extracurriculares, no hay más de $b$ clases con estudiantes que participan en ambos grupos simultáneamente. a) Halle $m$ cuando $n = 8, a = 4 , b = 1$ . b) Demuestre que $n \geq 20$ cuando $m = 6 , a = 10 , b = 4$ . c) Halle el valor mínimo de $n$ cuando $m = 20 , a = 4 , b = 1$ .

2 Sea $M$ un $n$ -ágono convexo. Sea $k$ el número mínimo de puntos que pueden colocarse estrictamente dentro de $M$ de modo que dentro de todo pentágono cuyos vértices son vértices de $M$ haya exactamente $3$ de los puntos marcados. Demuestre que $k \geqslant n-2$ .

2 Considere un tablero de \(n\times n\) dividido en \(n^2\) casillas, con \(n\ge3\) . Inicialmente se elige una casilla y se colocan \(n^2\) monedas sobre ella. Una jugada consiste en elegir una casilla que contenga al menos dos monedas y mover dos de esas monedas a dos casillas que son simétricas respecto de la casilla elegida y comparten al menos un vértice con ella. Los cuatro tipos posibles de jugadas se muestran a continuación. [asy] unitsize(1cm); defaultpen(linewidth(1.2)+fontsize(10pt)); pen gridpen = linewidth(1.2); pen coinstroke = linewidth(1.2); pen coinfill = rgb(1,0.8,0); // orange-like void drawGrid(real xo){ for (int i=0; i<=3; ++i){ draw( (xo+i,0)--(xo+i,3), gridpen ); draw( (xo, i)--(xo+3, i), gridpen ); } } void board(int t, real xo, string labeltext){ drawGrid(xo); pair C = (xo+1.5,1.5); filldraw(circle(C,0.08), black, black); pair P1, P2; if (t==1){ P1=(xo+1.5,2.5); P2=(xo+1.5,0.5); } if (t==2){ P1=(xo+0.5,1.5); P2=(xo+2.5,1.5); } if (t==3){ P1=(xo+0.5,0.5); P2=(xo+2.5,2.5); } if (t==4){ P1=(xo+0.5,2.5); P2=(xo+2.5,0.5); } filldraw(circle(P1,0.25), coinfill, coinstroke); filldraw(circle(P2,0.25), coinfill, coinstroke); draw(C--P1, EndArrow(size=8)); draw(C--P2, EndArrow(size=8)); label(labeltext, (xo+1.5,-0.45)); } board(1,0,"Type 1"); board(2,4,"Type 2"); board(3,8,"Type 3"); board(4,12,"Type 4"); [/asy] Si después de varias jugadas hay exactamente una moneda en cada casilla del tablero, demuestre que el número de jugadas de Tipo 3 es igual al número de jugadas de Tipo 4.

6 Un sultán ha capturado a 23 magos y les propone un juego para liberarlos. El sultán dice que construirá 11 pozos numerados del 1 al 11, y una torre. Dentro de cada pozo colocará a dos magos, y pondrá al mago restante en la torre. Cada mago de los pozos llevará un sombrero de uno de cuatro colores (conocidos por todos), y el mago de la torre llevará un sombrero de uno de 2025 colores (distintos de los otros cuatro y conocidos por todos). Ningún mago sabrá el color de su propio sombrero. Una vez dentro del pozo, cada mago sabrá el número del pozo en el que está; además, solo verá el sombrero del mago de la torre y el sombrero del mago con quien comparte el pozo. El mago de la torre sabrá el número de cada pozo, y podrá ver los sombreros de todos los demás magos. En cierto momento, el sultán dará la orden y, simultáneamente, cada mago dirá: El color de mi sombrero es $x$ , '' donde $x$ es cualquier color que él elija. Si al menos un mago dice la verdad, todos los magos ganan y son liberados; en caso contrario, pierden. Antes de ser colocados en sus posiciones y recibir sus sombreros, los magos tendrán algún tiempo para planear una estrategia, pero no podrán comunicarse después. ¿Pueden garantizar la victoria, sin importar lo que haga el sultán?

2025.5 Sea $[ABCD]$ un cuadrado de lados de $2$ cm y centrado en el punto $T$, como se muestra en la figura. Dibuja un rombo $[ARTE]$ donde el punto $E$ pertenece a la recta $DC$. ¿Cuál es el área del rombo $[ARTE]$?

5 En la tabla https://services.artofproblemsolving.com/download.php?id=YXR0YWNobWVudHMvZC9hLzBjNjFlZWFjM2ZlOTQzMTk2YTdkMzQ2MjJiYzYyMWFlN2Y0ZGZlLnBuZw==&rn=dGFibGljYWEucG5n están marcados $10$ números, exactamente uno en cada fila y cada columna. Demuestre que entre ellos hay al menos dos iguales