2 Demuestra que la desigualdad \[\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sqrt{|x_i-x_j|}\leqslant \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sqrt{|x_i+x_j|}\] se cumple para todos los números reales $x_1,\ldots x_n.$

3 Sea $D$ un punto interior del triángulo acutángulo $ABC$ con $AB > AC$ tal que $\angle DAB = \angle CAD.$ El punto $E$ en el segmento $AC$ satisface $\angle ADE = \angle BCD,$ el punto $F$ en el segmento $AB$ satisface $\angle FDA = \angle DBC,$ y el punto $X$ en la recta $AC$ satisface $CX = BX.$ Sean $O_1$ y $O_2$ los circuncentros de los triángulos $ADC$ y $EXD,$ respectivamente. Demuestra que las rectas $BC, EF$ y $O_1O_2$ son concurrentes.

4 Sea $\Gamma$ un círculo con centro $I$, y $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que cada uno de los segmentos $AB, BC, CD$ y $DA$ es tangente a $\Gamma$. Sea $\Omega$ el circuncírculo del triángulo $AIC$. La extensión de $BA$ más allá de $A$ corta a $\Omega$ en $X$, y la extensión de $BC$ más allá de $C$ corta a $\Omega$ en $Z$. Las extensiones de $AD$ y $CD$ más allá de $D$ cortan a $\Omega$ en $Y$ y $T$, respectivamente. Demuestra que \[ AD+DT+TX+XA=CD+DY+YZ+ZC. \] Propuesto por Dominik Burek, Polonia y Tomasz Ciesla, Polonia

5 Dos ardillas, Bushy y Jumpy, han recolectado 2021 nueces para el invierno. Jumpy numera las nueces del 1 al 2021, y cava 2021 agujeritos en un patrón circular en el suelo alrededor de su árbol favorito. A la mañana siguiente, Jumpy nota que Bushy había colocado una nuez en cada agujero, pero sin prestar atención a la numeración. Molesto, Jumpy decide reordenar las nueces realizando una secuencia de 2021 movimientos. En el movimiento \( k \)-ésimo, Jumpy intercambia las posiciones de las dos nueces adyacentes a la nuez \( k \). Demuestra que existe un valor de \( k \) tal que, en el movimiento \( k \)-ésimo, Jumpy intercambia algunas nueces \( a \) y \( b \) con \( a<k<b \).

6 Sea $m\ge 2$ un entero, $A$ un conjunto finito de enteros (no necesariamente positivos) y $B_1,B_2,\ldots,B_m$ subconjuntos de $A$. Supón que, para cada $k=1,2,\ldots,m$, la suma de los elementos de $B_k$ es $m^k$. Demuestra que $A$ contiene al menos $\dfrac{m}{2}$ elementos.

1 Sea $\mathbb{Z}$ el conjunto de los enteros. Determina todas las funciones $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ tales que, para todos los enteros $a$ y $b$, $$f(2a)+2f(b)=f(f(a+b)).$$ Propuesto por Liam Baker, Sudáfrica

2 En el triángulo \(ABC\), el punto \(A_1\) está en el lado \(BC\) y el punto \(B_1\) está en el lado \(AC\). Sean \(P\) y \(Q\) puntos en los segmentos \(AA_1\) y \(BB_1\), respectivamente, tales que \(PQ\) es paralelo a \(AB\). Sea \(P_1\) un punto en la recta \(PB_1\), tal que \(B_1\) está estrictamente entre \(P\) y \(P_1\), y \(\angle PP_1C=\angle BAC\). De manera similar, sea \(Q_1\) el punto en la recta \(QA_1\), tal que \(A_1\) está estrictamente entre \(Q\) y \(Q_1\), y \(\angle CQ_1Q=\angle CBA\). Demuestra que los puntos \(P,Q,P_1\) y \(Q_1\) son concíclicos. Propuesto por Anton Trygub, Ucrania

4 Se nos dan $n$ puntos en el espacio. Algunos pares de estos puntos están conectados por segmentos de recta de modo que el número de segmentos es igual a $[n^2/4],$ y existe un triángulo conectado. Demuestre que todo punto del que parte el número máximo de segmentos es un vértice de un triángulo conectado. Amir

1 Un pentágono $ABCDE$ inscrito en una circunferencia, para el cual $BC<CD$ y $AB<DE$ , es la base de una pirámide con vértice $S$ . Si $AS$ es la arista más larga que parte de $S$ , demuestre que $BS>CS$ .

2 Halle todas las funciones $f : \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ que satisfacen la siguiente condición: \[f(n+1)>f(f(n)), \quad \forall n \in \mathbb{N}.\]