La intersección de dos triángulos es un hexágono. Si se retira este hexágono, quedan seis triángulos pequeños. Estos seis triángulos tienen los mismos inradios. Demuestre que los inradios de los dos triángulos originales también son iguales. Spoiler: Este es uno de los momentos culminantes del TT. También SA3

Una torre recorrió un tablero de n x n, moviéndose en cada turno a la celda vecina de la anterior por un lado, de modo que cada celda fue visitada una vez. Bob ha colocado los números enteros del 1 al n^2 en las celdas, correspondiendo al orden en que la torre las recorrió. Sea M la mayor diferencia de los números en celdas vecinas por lado. ¿Cuál es el valor mínimo posible de M?

¿Cuál es el número máximo posible de raíces en el intervalo (0,1) para un polinomio de grado 2022 con coeficientes enteros y con coeficiente principal igual a 1?

El rey reunió a 300 magos y les planteó el siguiente desafío. Para este desafío pueden usarse 25 colores, y los magos los conocen. Cada uno de los magos recibe un sombrero de uno de esos 25 colores. Si se escribiera el número de sombreros usados para cada color, todos estos números serían diferentes, y los magos lo saben. Cada mago ve qué sombrero recibió cada otro mago, pero no ve su propio sombrero. Simultáneamente, cada mago anuncia el color de su propio sombrero. ¿Es posible que los magos coordinen sus acciones de antemano de modo que al menos 150 de ellos acierten?

Una nave espacial se encuentra en un semiespacio a distancia $a$ de su frontera. La tripulación lo sabe, pero no sabe en qué dirección moverse para alcanzar el plano frontera. La nave puede viajar por el espacio siguiendo cualquier trayectoria, puede medir el camino ya recorrido y tiene un sensor que señala cuando se alcanza la frontera. ¿Es posible alcanzar la frontera con certeza habiendo recorrido a lo sumo: $a)14a$ $b)13a$ ?

Halle el mayor entero positivo $n$ tal que para cada primo $p$ con $2<p<n$ la diferencia $n-p$ sea también prima.

Considere un cuadrado blanco de 100×100. Varias celdas (no necesariamente vecinas) fueron pintadas de negro. En cada fila o columna que contiene algunas celdas negras, su número es impar. Por tanto, podemos considerar la celda negra central de esta fila o columna (con igual número de celdas negras en ambas direcciones opuestas). Resultó que todas las celdas negras centrales de tales filas están en columnas diferentes y todas las celdas negras centrales de las columnas están en filas diferentes. a) Demuestre que existe una celda que es a la vez la celda negra central de su fila y la celda negra central de su columna. b) ¿Es verdad que cualquier celda negra central de una fila es también la celda negra central de su columna?

Se fabricaron 7 medallas de oro, 7 de plata y 7 de bronce para un torneo. Todas las medallas del mismo material deben pesar lo mismo y las medallas de materiales diferentes deben tener pesos diferentes. Sin embargo, resultó que exactamente una medalla tenía un peso incorrecto. Si esta medalla es de oro, es más liviana que una medalla de oro estándar; si es de bronce, es más pesada que una de bronce estándar; si es de plata, puede ser más liviana o más pesada que una de plata estándar. ¿Es posible encontrar con certeza la no estándar usando tres pesadas en una balanza de platillos sin pesas? art-of--maths123456789

Sea $p$ un número primo y sea $M$ un polígono convexo. Suponga que hay exactamente $p$ maneras de teselar $m$ con triángulos equiláteros de lado $1$ y cuadrados de lado $1$ . Demuestre que existe algún lado de $M$ de longitud $p-1$ .

Pedro eligió un entero positivo, lo multiplicó por 5, multiplicó el resultado por 5, luego multiplicó el resultado por 5 nuevamente y así sucesivamente. En total se hicieron $k$ multiplicaciones. Resultó que las representaciones decimales del número original y de todos los $k$ números resultantes de esta sucesión no contienen el dígito $7$ . Demuestre que existe un entero positivo tal que puede ser multiplicado $k$ veces por $2$ de modo que ningún número de esta sucesión contenga el dígito $7$ .