2007.4 Considere los cuadrados $ABCD, CEDF$ y $BGHE$ como en la figura de la derecha. Demuestre que $| AC | = | CH |$ . https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/6/4/e856525db9884b8b3c2b1fa2c195cf8e7c5f16.png

2008.4 En un cuadrado de lado $1$ , los centros de los lados se conectan con los vértices opuestos como en la figura. ¿Cuál es el área del octágono que resulta? //cdn.artofproblemsolving.com/images/a/9/7/a97e00a68b0e5f0e2eb5eb66404bd5e24315aaad.png

2009.3 Dos circunferencias con el mismo centro tienen radios $r$ y $2r$ . Una cuerda $[AB]$ de la circunferencia grande interseca a la pequeña en los puntos $C$ y $D$ tales que $| AC | = | CD | = | DB |$ . Calcule la longitud $| AB |$ en términos de $r$ .

2010.1 En un triángulo $ABC$ , $\angle B= 2\angle A$ . Sean $a = | BC |$ , $b = | CA |$ y $c = | AB |$ . Demuestre que $ac = b^2 - a^2$ .

2011.4 Demuestre que existe un número positivo $\lambda$ tal que para todo triángulo $ABC$ cuyas medianas desde los vértices $B$ y $C$ se intersecan en ángulo recto, se cumple $| AB |^2 + | AC |^2 = \lambda | BC |^2$ .

2012.3 Los extremos y los puntos medios de dos segmentos están conectados como se muestra en la figura. Demuestre que el área de la región $I$ es igual a la suma de las áreas de las regiones $II$ y $III$ . //cdn.artofproblemsolving.com/images/7/5/9/7594531a74c71c4aecb29c3c415ecb5fabbf8c43.png

2012.4 Dos rectas $\ell$ y $m$ se intersecan perpendicularmente en $O$ . A un lado de $\ell$ tomamos un punto $F$ sobre $m$ . Al otro lado de $\ell$ tomamos un punto $V$ que no se encuentra sobre $m$ . La recta que conecta la proyección perpendicular de $V$ sobre $\ell$ con $F$ interseca a la recta $VO$ en $B$ . Denote las distancias de $F, V$ y $B$ a $\ell$ por $f, v$ y $b$ , respectivamente. Si sabemos que $f <v$ , entonces demuestre que $$\frac{1}{f}=\frac{1}{v}+\frac{1}{b}$$

2013.2 Los puntos $M$ y $N$ se encuentran respectivamente sobre los lados $[BC]$ y $[CD]$ del cuadrado $ABCD$ tales que $| CM | = | DN |$ . Los segmentos $[DM]$ y $[BN]$ se intersecan entre sí en $P$ . Demuestre que $AP \perp MN$ .

2014.1 Sobre el lado $[AC]$ del triángulo $ABC$ se encuentra un punto $D$ con las siguientes propiedades: $\bullet$ $| BC | = | BD | $ $\bullet$ $\angle ABD = 2 \angle BAD$ $\bullet$ $BC$ es perpendicular a la bisectriz de $\angle ABD $ . Calcule los ángulos de $\vartriangle ABC$ .

2014.2 De una hoja de papel con largo $a$ y ancho $b$ tales que $b <a<2b$ se corta a lo largo de una recta un cuadrado $V_1$ lo más grande posible. Del rectángulo restante se corta nuevamente a lo largo de una recta un cuadrado $V_2$ lo más grande posible. (a) Demuestre que el perímetro del rectángulo que queda ahora es mayor que un tercio del perímetro del rectángulo original. (b) Demuestre que el área del rectángulo restante no es mayor que $(3 - 2\sqrt2)$ veces la del rectángulo original