1 Suponga números reales $A,B,C$ tales que para todos los números reales $x,y,z$ se cumple la siguiente desigualdad: \[A(x-y)(x-z) + B(y-z)(y-x) + C(z-x)(z-y) \geq 0.\] Halle la condición necesaria y suficiente que deben satisfacer $A,B,C$ (expresada mediante una igualdad o una desigualdad).

2 $AD$ es la altura sobre el lado $BC$ del triángulo $ABC$ . Si $BC+AD-AB-AC = 0$ , halle el rango de $\angle BAC$ . Formulación alternativa. Sea $AD$ la altura del triángulo $ABC$ sobre el lado $BC$ . Si $BC+AD=AB+AC$ , halle entonces el rango de $\angle{A}$ .

1 Sea $\mathbb{N} = \{1,2, \ldots\}.$ ¿Existe una función $f: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$ tal que $\forall n \in \mathbb{N},$ $f^{1989}(n) = 2 \cdot n$ ?

3 Demuestre que para toda potencia entera de 2, existe un múltiplo de ella cuyas cifras (en su expresión decimal) son todas distintas de cero.

4 Hay 7 puntos arbitrarios en el plano. Se trazan circunferencias por cada 4 puntos concíclicos posibles. Halle el número máximo de circunferencias que se pueden trazar.

2 Sean $v_0 = 0, v_1 = 1$ y $v_{n+1} = 8 \cdot v_n - v_{n-1},$ $n = 1,2, ...$ . Demuestre que en la sucesión $\{v_n\}$ no hay términos de la forma $3^{\alpha} \cdot 5^{\beta}$ con $\alpha, \beta \in \mathbb{N}.$

3 Halle el mayor $n$ tal que $(z+1)^n = z^n + 1$ tenga todas sus raíces no nulas en la circunferencia unitaria, es decir, $(\alpha+1)^n = \alpha^n + 1, \alpha \neq 0$ implica $|\alpha| = 1.$

4 Dado el triángulo $ABC$ , se construyen exteriormente los cuadrados $ABEF, BCGH, CAIJ$ sobre los lados $AB, BC, CA$ , respectivamente. Sean $AH \cap BJ = P_1$ , $BJ \cap CF = Q_1$ , $CF \cap AH = R_1$ , $AG \cap CE = P_2$ , $BI \cap AG = Q_2$ , $CE \cap BI = R_2$ . Demuestre que el triángulo $P_1 Q_1 R_1$ es congruente con el triángulo $P_2 Q_2 R_2$ .

1 Un triángulo de lados $\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{5}}{2}, \sqrt{2}$ se dobla a lo largo de una recta variable perpendicular al lado de $\frac{3}{2}.$ Halle el valor máximo del área coincidente.

5 Sea $M$ el punto medio de $BC$ del triángulo $ABC$ . La circunferencia con diámetro $BC$ , $\omega$ , corta a $AB,AC$ en $D,E$ respectivamente. $P$ está dentro de $\triangle ABC$ tal que $\angle PBA=\angle PAC, \angle PCA=\angle PAB$ , y $2PM\cdot DE=BC^2$ . El punto $X$ está fuera de $\omega$ tal que $XM\parallel AP$ , y $\frac{XB}{XC}=\frac{AB}{AC}$ . Demuestre que $\angle BXC +\angle BAC=90^{\circ}$ .